2025 贵阳 代码源 Day5 模拟赛

Day 5 模拟赛

A

枚举 $R_1$ 和 $L_2$ 中间分割点，相当于求前缀和后缀内最大子段和，两次枚举就求完了。

B

把丢到的最小改成选的最大。结构体存一起，按照 $c$ 和 $h$ 排序两次，枚举剩下 $h$ 的上限，以按 $c$ 排完序后的下标在线段树上加点，因为我们要尽量选 $c$ 最大的玩偶，就在线段树上二分，保证前缀玩偶数量不超过已选的最大 $h$ 的数量。

C

发现到达点 $v$ 的最短时间就是 $di{s}_v\leftarrow \max (a_v,di{s}_u+1),u\to v$。这时我们考虑整条路径上高度变化情况，可以考虑到一定是一直不断的上升后等待 $0\to 1$ 个点后一直下降，这样就考虑枚举峰值位置。

我们分别从 $1$ 和 $n$ 开始 dijkstra 求得 $di{s}_{1,i},di{s}_{n,i}$，枚举峰值位置，注意要判断只有 $|di{s}_{1,i}-di{s}_{n,i}|\le 1$ 才可能是峰值，否则可以发现该条路径上的峰值一定会出现在别的位置上。

D

发现一个关键性质，如果一个区间 $l_1,r_1$ 包含 $l_2,r_2$，则我们对 $l_1,r_1$ 只用考虑将其添加到 $l_2,r_2$ 同一组中或独立开成一组，这样我们就可以把所有包含其它区间的区间去除掉，只用考虑没有包含其它任何区间的区间。又发现因为这些剩下的区间肯定互不包含，所以我们将剩下的区间按左端点排序后右端点也将是有序的。

有了这两个性质之后我们就可以开始 dp 了，先只考虑剩下的区间将其排序，用 $f_{i,j}$ 表示在前 $i$ 个区间中已经完成了 $j$ 组，总和是多少，转移 $f_{i,j}\leftarrow \max (f_{k,j-1}+r_{k+1}-l_i+1),r_{k+1}\ge l_i$，因为要保证全部有交 $r_{k+1}\ge l_i$，所以考虑单调队列优化。

接下来考虑之前排除掉的区间，按照之前的想法，我们枚举 $i:=1\to n$ 表示我们通过剩下的区间完成了 $i$ 组，接下来考虑最长的之前排除掉的 $n-i$ 个区间，将这 $n-i$ 个区间都自成一组，答案就是 $f_{n,i}$ 加上最长的 $n-i$ 个被排除掉的区间的长度总和；再剩下的直接合并到其包含的区间中的随便一组就好，不用考虑这部分。
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