2024牛客暑期多校训练营2

A. Floor Tiles

Problem

给定两种不同图案的地砖，问怎么拼接成大小为 $N\cdot M$，且只有 $K$ 条连续曲线，同时要求第 $x$ 行，第 $y$ 列地砖的图案为 t   ( t ∈ { ′ A ′ , ′ B ′ } ) t\ (t\in \{'A','B'\}) t (t∈{′A′,′B′})。

数据范围：$1\le N,M\le 800，1\le K\le 2\cdot N\cdot M$。

Solution

首先可以发现最小的连续曲线的数量是全放同一种图案，此时共有$N+M$条曲线；而数量最多的连续曲线可以通过构造 $\begin{array}{cc}A& B\\ B& A\end{array}$ 获得内部圆的方式得到。

如果左上角为 $A$，有 $N+M+\lfloor \frac{(N-1)(M-1)+1}{2}\rfloor$

如果左上角为 $B$，有 $N+M+\lfloor \frac{(N-1)(M-1)}{2}\rfloor$

因此对小于下界或大于上界的 $K$，直接输出 ${}^{\prime }N{o}^{\prime }$，而在范围内的 $K$ 可以先通过给定的瓷砖图案构造出最多的连续曲线，再将多余的曲线去掉即可。去掉多余曲线时可以选择用给定的图案覆盖即可。

时间复杂度：$O(NM)$

Code

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <map>
#include <cmath>
#define ll long long
using namespace std;
const int N = 1e5;
int T;
int n, m, k, x, y;
char t, ans[1000][1000];
void solve()
{
    cin >> n >> m >> k;
    cin >> x >> y >> t;
    // printf("%c", t);
    int mi = n + m, ma = n + m + ((n - 1) * (m - 1) + 1) / 2;
    int p = 0;
    if ((t == 'A' && (x + y) % 2 == 1) || (t == 'B' && (x + y) % 2 == 0))
    {
        p = 1;
        ma = n + m + (n - 1) * (m - 1) / 2;
    }
    if (k > ma || k < mi)
    {
        printf("No\n");
        return;
    }
    k = ma - k;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= m; j++)
        {
            if ((i + j) % 2 == p)
            {
                ans[i][j] = 'A';
            }
            else
            {
                ans[i][j] = 'B';
            }
        }
    }
    for (int i = 1; i < n; i++)
    {
        for (int j = 1; j < m; j++)
        {
            if (ans[i][j] == 'A' && ans[i][j + 1] == 'B' && k > 0)
            {
                ans[i][j] = t;
                ans[i][j + 1] = t;
                k--;
            }
        }
    }
    printf("Yes\n");
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= m; j++)
        {
            printf("%c", ans[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
}
int main()
{
    cin >> T;
    while (T--)
    {
        solve();
    }
    return 0;
}

B. MST

Problem

给定 $n$ 个顶点和 $m$ 条边，以及 $q$ 次询问，每次询问给定 $k$ 个不同的顶点，问由这 $k$ 个顶点构成的子图的最小生成树的边权之和是多少。

数据范围：$2\le n\le 10^5,1\le m,q\le 10^5,\sum k\le 10^5$

Solution

该问题主要是需要解决快速找到子图的边，如果每次遍历所有边，复杂度为$O(qm)$，如果每次遍历边的两个顶点，复杂度为$O(\sum k^2)$，这两种方法显然不行，不过将这两种方法结合起来就可以解决该问题。

对 $k>\sqrt{n}$ 的情况，通过遍历所有边找到子图的边，复杂度 $O(m\sqrt{n})$；对 $k\le \sqrt{n}$ 的情况，通过遍历两个顶点的找到子图的边，复杂度为 $O(n\sqrt{n})$。

将得到的子图的边用 $kruskal$ 算法求最小生成树即可。$kruskal$ 算法求最小生成树的复杂度为$O(mlogm)$

Code

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <map>
#include <cmath>
#define ll long long
using namespace std;
const int N = 1e5;
int n, m, q, k;
int f[N + 5], a[N + 5];
struct edge
{
    int u, v;
    ll w;
    edge(int a, int b, ll c)
    {
        u = a, v = b, w = c;
    }
};
int find(int x)
{
    return x == f[x] ? x : f[x] = find(f[x]);
}
bool merge(int x, int y)
{
    x = find(x);
    y = find(y);
    if (x == y)
    {
        return false;
    }
    f[y] = x;
    return true;
}
bool cmp(edge x, edge y)
{
    return x.w < y.w;
}
int main()
{
    cin >> n >> m >> q;
    int lim = sqrt(n);
    vector<edge> G;
    map<pair<int, int>, ll> mp;
    for (int i = 0; i < m; i++)
    {
        int u, v;
        ll w;
        cin >> u >> v >> w;
        if (u < v)
        {
            swap(u, v);
        }
        G.push_back(edge(u, v, w));
        mp[{u, v}] = w;
    }
    for (int i = 1; i <= q; i++)
    {
        cin >> k;
        for (int j = 1; j <= k; j++)
        {
            cin >> a[j];
            f[a[j]] = a[j];
        }
        int cnt = 0;
        ll ans = 0;
        vector<edge> Q;
        if (k <= lim)
        {
            for (int x = 1; x <= k; x++)
            {
                for (int y = x + 1; y <= k; y++)
                {
                    int u = a[x], v = a[y];
                    if (u < v)
                    {
                        swap(u, v);
                    }
                    if (mp.count({u, v}))
                    {
                        Q.push_back(edge(u, v, mp[{u, v}]));
                    }
                }
            }
        }
        else
        {
            for (int j = 0; j < m; j++)
            {
                int u = G[j].u, v = G[j].v;
                ll w = G[j].w;
                if (f[u] && f[v])
                {
                    Q.push_back(edge(u, v, w));
                }
            }
        }
        sort(Q.begin(), Q.end(), cmp);
        for (int i = 0; i < Q.size(); i++)
        {
            int u = Q[i].u, v = Q[i].v;
            if (merge(u, v))
            {
                ans += mp[{u, v}];
                cnt++;
            }
        }
        for (int j = 1; j <= k; j++)
        {
            f[a[j]] = 0;
        }
        if (cnt == k - 1)
        {
            printf("%lld\n", ans);
        }
        else
        {
            printf("-1\n");
        }
    }
    return 0;
}

C. Red Walking on Grid

Problem

给定一个$2\times n$的网格，网格上要么为红色要么为白色，要求只能在红色网格上下左右移动，同时每个位置不能重复经过，问最多能走多少步。

数据范围：$1\le n\le 10^6$

Solution

将每行连续的颜色为红色的网格作为区间提取出来，并按左端点排序。对于两个区间 $[l_i,r_i]，[l_j,r_j]$，只有两种情况需要特殊考虑。

当 $l_i<l_j\le r_j<r_i$ 时，即两个区间包含，并且 $r_j-l_j+1$ 为奇数时，答案要减一。

当 $l_i<l_j<r_i<r_j$时，即两个区间相交，并且 $r_i-l_j+1$ 为偶数时，答案要减一。

对于其他情况一律加上区间长度即可。

时间复杂度：$O(nlogn)$

Code

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N = 5e3;
const ll M = 1000000007;
int n;
string s[2];
int main()
{
    cin >> n;
    cin >> s[0] >> s[1];
    s[0] = s[0] + 'W';
    s[1] = s[1] + 'W';
    vector<pair<int, int>> p;
    for (int j = 0; j < 2; j++)
    {
        int len = 0, l = 0;
        for (int i = 0; i <= n; i++)
        {
            if (s[j][i] == 'R')
            {
                len++;
            }
            else
            {
                if (len > 0)
                {
                    p.push_back({l, l + len - 1});
                }
                len = 0;
                l = i + 1;
            }
        }
    }
    sort(p.begin(), p.end());
    int ans = 0, cur = 0, ma = -1, pre = -1;
    for (int i = 0; i < p.size(); i++)
    {
        // printf("%d %d\n", p[i].first, p[i].second);
        if (p[i].first > ma)
        {
            ans = max(ans, cur);
            cur = p[i].second - p[i].first + 1;
        }
        else
        {
            cur += p[i].second - p[i].first + 1;
            if (p[i].second < ma && (p[i].second - p[i].first + 1) % 2 == 1 && p[i].first != pre)
            {
                cur--;
            }
            if (p[i].second > ma && (ma - p[i].first + 1) % 2 == 0 && p[i].first != pre)
            {
                cur--;
            }
        }
        ma = max(ma, p[i].second);
        pre = p[i].first;
    }
    ans = max(ans, cur);
    printf("%d\n", max(0, ans - 1));
    return 0;
}

E. GCD VS XOR

Problem

给定整数 $x$，要求找到一个整数 $y(0<y<x)$，使得 $gcd(x,y)=x\oplus y$。

数据范围：$1\le x\le 10^{18}$

Solution

当 $x$ 为奇数时，$y=x-1$ 显然能符合条件，当 $x$ 为偶数时，将 $x$ 表示成二进制形式后，发现将最后一个为 $1$ 的位减去后也可以满足条件。

因此答案即为 $x-lowbit(x)$，其中为 $lowbit(x)=x\&-x$。

当 $lowbit(x)=x$ 时，不存在这样的非负整数，输出 $-1$ 即可。

时间复杂度：$O(1)$

Code

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <map>
#include <cmath>
#define ll long long
using namespace std;
const int N = 1e5;
int T;
ll lowbit(ll x)
{
    return x & -x;
}
void solve()
{
    ll x;
    cin >> x;
    ll y = x - lowbit(x);
    if (y == 0)
    {
        printf("-1\n");
    }
    else
    {
        printf("%lld\n", y);
    }
}
int main()
{
    cin >> T;
    while (T--)
    {
        solve();
    }
    return 0;
}

H. Instructions Substring

Problem

给定一个长度为 $n$ 的字符串，只包含 $W、S、A、D$ 这四个大写字母，表示向上下左右移动一个单位，初始时位于 $(0,0)$，问有多少个连续子串能够经过 $(x,y)$。

数据范围：$1\le n\le 2\times 10^5,-10^5\le x,y\le 10^5$。

Solution

因为要求的是能够经过 $(x,y)$，假如子串区间为 $[l,r]$ 恰好能到达点 $(x,y)$，那么所有左端点为 $l$，右端点大于 $r$ 的子串都是符合条件的。

因此可以通过从后往前遍历解决，对于当前的左端点 $i$，找到恰好到达 $(x,y)$ 的右端点 $j$，$ans=ans+n-j+1$。

时间复杂度：$O(nlogn)$

Code

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N = 1e6;
const ll M = 1000000007;
int n, x, y;
string s;
int main()
{
    cin >> n >> x >> y;
    cin >> s;
    if (x == 0 && y == 0)
    {
        printf("%lld\n", (ll)n * (n + 1) / 2);
        return 0;
    }
    map<pair<int, int>, ll> mp;
    mp[{0, 0}] = n;
    int nx = 0, ny = 0;
    ll ans = 0;
    for (int i = n - 1; i >= 0; i--)
    {
        if (s[i] == 'W')
        {
            ny++;
        }
        else if (s[i] == 'A')
        {
            nx--;
        }
        else if (s[i] == 'S')
        {
            ny--;
        }
        else
        {
            nx++;
        }
        //printf("%d %d\n", nx, ny);
        if (mp.count({nx - x, ny - y}))
        {
            ans += n - mp[{nx - x, ny - y}] + 1;
        }
        mp[{nx, ny}] = i;
    }
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}

I. Red Playing Cards

Problem

给定长度为 $2\cdot n$ 的数组 { a } i = 1 2 n \{a\}_{i=1}^{2n} {a}i=12n​，其中 $1\sim n$ 每个元素恰好出现两次。每次可以选择一个整数 $i$，找到数组中等于 $i$ 的位置，记为 $l_i,r_i$，然后移除区间 $[l_i,r_i]$ 范围内的所有元素，同时得分增加 $i\times (r_i-l_i+1)$，问最大可以获得多少。

数据范围：$1\le n\le 3000$

Solution

记 $f_i$ 表示数 $i$ 的区间 $[l_i,r_i]$ 可以获得的最大分数，如果区间内的数都比 $i$ 小，那么直接将这个区间移除是最优的，如果区间内存在一对数 $j(j>i)$，那么应该先移除 $[l_j,r_j]$，再移除 $[l_i,r_i]$，是更优的策略。

因此可以通过 $dp$ 来求解 $f_i$，记 $g_k$ 表示区间 $[l_i,k]$ 的最大分数，状态转移方程如下：

如果 $k=r_j$，并且 $l_j>l_i$，$g_k=max(g_{k-1}+i,g_{l_j-1}+f_j)$。

其他情况下，$g_k=g_{k-1}+i$。

因为只有比数 $i$ 大的数才会对 $f_i$ 有影响的，因此从大到小求解 $f_i$ 即可，可以在数组两端加上值为 $0$ 的元素，那么最后的答案即为 $f_0$。

时间复杂度：$O(n^2)$

Code

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N = 1e6;
const ll M = 1000000007;
int n, a[N + 5], f[N + 5], g[N + 5], l[N], r[N];
int main()
{
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= 2 * n; i++)
    {
        cin >> a[i];
        r[a[i]] = i;
    }
    for (int i = 2 * n; i >= 1; i--)
    {
        l[a[i]] = i;
    }
    a[0] = 0, a[2 * n + 1] = 0;
    l[0] = 0, r[0] = 2 * n + 1;
    for (int i = n; i >= 0; i--)
    {
        for (int i = 0; i <= 2 * n + 1; i++)
        {
            g[i] = 0;
        }
        for (int j = l[i] + 1; j < r[i]; j++)
        {
            if (j == r[a[j]] && l[a[j]] > l[i])
            {
                g[j] = max(g[j - 1] + i, g[l[a[j]] - 1] + f[a[j]]);
            }
            else
            {
                g[j] = g[j - 1] + i;
            }
        }
        f[i] = g[r[i] - 1] + 2 * i;
        // printf("%d\n", f[i]);
    }
    printf("%d\n", f[0]);
    return 0;
}