数据降维的前前后后

为什么要进行降维处理?

1.多重共线性--预测变量之间相互关联。多重共线性会导致解空间的不稳定,从而可能导致结果的不连贯。

2.高维空间本身具有稀疏性。一维正态分布有68%的值落于正负标准差之间,而在十维空间上只有0.02%。

3.过多的变量会妨碍查找规律的建立。

4.仅在变量层面上分析可能会忽略变量之间的潜在联系。例如几个预测变量可能落入仅反映数据某一方面特征的一个组内。

降维的目的:

1.减少预测变量的个数

2.确保这些变量是相互独立的

3.提供一个框架来解释结果

在MATLAB中实现PCA的过程涉及到数据预处理、协方差矩阵计算、特征分解、选择主成分以及数据投影等关键步骤。理解这些步骤的数学意义对于把握PCA的原理至关重要。首先,数据预处理是为了消除各特征的均值,保证数据的中心点位于坐标原点,便于后续计算。通过计算协方差矩阵,我们能揭示数据特征之间的相互关系。协方差矩阵的特征分解能够帮助我们找到数据中的主要变动方向,即主成分。特征值的大小表示了对应特征向量的重要性,较大的特征值意味着对应的特征向量能够解释更多的数据变异性。选择前k个最大的特征值对应的特征向量进行数据投影,可以得到后的数据,同时尽可能保留原始数据的结构和信息。 参考资源链接:[PCA主成分分析详解与MATLAB实现](https://wenku.youkuaiyun.com/doc/7j9vykcjtv) 在MATLAB中,使用`princomp`函数可以轻松实现PCA。以下是一个简化的示例代码: ```matlab % 假设样本矩阵X是一个m*n的矩阵,其中m为样本数,n为特征数 X = ...; % 你的数据 % 执行PCA [coeff,score,latent,~] = princomp(X); % coeff为n*k的矩阵,包含k个主成分方向(特征向量) % score为m*k的矩阵,是原始数据X在主成分方向上的投影(后的数据) % latent为一个1*k的向量,包含对应特征向量的特征值 ``` 在上述代码中,`coeff`即为特征向量,`score`为后的数据,`latent`为特征值。特征值越大,对应的特征向量就越重要。通过选择前几个最重要的特征值对应的特征向量,我们可以将原始数据到一个更小的空间内,同时尽可能地保留数据的主要信息。后的数据可以用更少的度来表示,减少了计算开销,同时也可能帮助去除噪声和冗余信息,使得数据的结构更加清晰。对于想要深入了解PCA数学原理和更多实现细节的读者,建议参阅《PCA主成分分析详解与MATLAB实现》一书,该书详细讲解了PCA的理论和应用,提供了丰富的示例,是学习PCA的宝贵资源。 参考资源链接:[PCA主成分分析详解与MATLAB实现](https://wenku.youkuaiyun.com/doc/7j9vykcjtv)
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