快速幂

原文地址： http://blog.youkuaiyun.com/hkdgjqr/archive/2010/03/15/5381028.aspx

快速求正整数次幂

2007-05-05 12:21

快速求正整数次幂，当然不能直接死乘。举个例子：

3 ^ 999 = 3 * 3* 3 * … * 3

直接乘要做998次乘法。但事实上可以这样做，先求出2^k次幂：

3 ^ 2 = 3 *3
3 ^ 4 = (3 ^ 2) * (3 ^ 2)
3 ^ 8 = (3 ^ 4) * (3 ^ 4)
3 ^ 16 = (3 ^ 8) * (3 ^ 8)
3 ^ 32 = (3 ^ 16) * (3 ^ 16)
3 ^ 64 = (3 ^ 32) * (3 ^ 32)
3 ^ 128 = (3 ^ 64) * (3 ^ 64)
3 ^ 256 = (3 ^ 128) * (3 ^ 128)
3 ^ 512 = (3 ^ 256) * (3 ^ 256)

再相乘：

3 ^ 999
= 3 ^ (512 + 256 + 128 + 64 + 32 + 4 + 2 + 1)
= (3 ^ 512) * (3 ^ 256) * (3 ^ 128) * (3 ^ 64) * (3 ^ 32) * (3 ^ 4)* (3 ^ 2) * 3

这样只要做16次乘法。即使加上一些辅助的存储和运算，也比直接乘高效得多（尤其如果这里底数是成百上千位的大数字的话）。

我们发现，把999转为2进制数：1111100111，其各位就是要乘的数。这提示我们利用求二进制位的算法（其中mod是模运算）：

REVERSE_BINARY(n)
1 while (n >0)
2     do output(n mod2)
3       n ← n / 2

这个算法给出正整数n的反向二制进位，如6就给出011（6的二进制表示为110）。事实上这个算法对任意的p进制数是通用的，只要把其中的2换成p就可以了。

如何把它改编为求幂运算？我们发现这个算法是从低位向高位做的，而恰好我们求幂也想从低次幂向高次幂计算（参看前面的例子）。而且我们知道前面求出的每个2^k次幂只参与一次乘法运算，这就提示我们并不把所有的中间结果保存下来，而是在计算出它们后就立即运算。于是，我们要做的就是把输出语句改为要做的乘法运算，并在n减少的同时不断地累积求2^k次幂。

还是看算法吧：

POWER_INTEGER(x, n)
1 pow ← 1
2 while (n >0)
3     do if (n mod2 = 1)
4            then pow ← pow * x
5       x ← x * x
6       n ← n / 2
7 return pow

不难看出这个算法与前面算法的关系。在第1步给出结果的初值1，在while循环内进行运算。3、4中的if语句就来自REVERSE_BINARY的输出语句，不过改成了如果是1则向pow中乘。5句则是不断地计算x的2^k次幂，如对前面的例子就是计算2^2、2^4、2^8、…、2^512。

应该指出，POWER_INTEGER比前面分析的要再多做两次乘法，一次是向pow中第一次乘x，如2^1也要进行这个乘法；另一次则是在算法的最后，n除以2后该跳出循环，而前面一次x的自乘就浪费掉了（也可以考虑改变循环模式优化掉它）。另外，每趟while循环都要进行一次除法和一次模运算，这多数情况下除法和模运算都比乘法慢许多，不过好在我们往往可以用位运算来代替它。

相应的C++代码如下

NumberType pow_n(NumberType x, unsigned intn)
{
    NumberTypepw =1;

   while (n > 0) {
       if ((pw % 2) == 1)
           pw *= x;
       x *= x;
       n /=2;

   }

   return pw;
}

进行简单的优化后则有：

NumberType optimized_pow_n(NumberType x,unsigned int n)
{
   NumberType pw =1;

   while (n > 0) {
       if (n &1)       // n& 1 等价于 (n % 2) == 1
           pw *=x;
       x *= x;
       n >>=1;       // n>>= 1 等价于 n /=2
   }

   returnpw;
}

注1：快速求幂算法POWER_INTEGER常被写成递归的形式，算法实质完全相同，但却是无必要的。

注2：这个算法并不是做乘法数最少的，但多数情况下是足够快并且足够简单的。如果单纯追求做乘法数最少，则未必应该用2^k次幂进行计算。如果还允许做除法，则问题会进一步复杂化。

如：

x ^ 2 = x * x
x ^ 4 = (x ^ 2) * (x ^ 2)
x ^ 8 = (x ^ 4) * (x ^ 4)
x ^ 16 = (x ^ 8) * (x ^8)
x ^ 31 = (x ^ 16) * (x ^ 8) * (x ^ 4) * (x ^2) * x
要8次乘法。

x ^ 2 = x * x
x ^ 4 = (x ^ 2) * (x ^ 2)
x ^ 8 = (x ^ 4) * (x ^ 4)
x ^ 10 = (x ^ 8) * (x ^ 2)
x ^ 20 = (x ^ 10) * (x ^ 10)
x ^ 30 = (x ^ 20) * (x ^ 10)
x ^ 31 = (x ^ 30) * x
只要7次乘法。

x ^ 2 = x * x
x ^ 4 = (x ^ 2) * (x ^ 2)
x ^ 8 = (x ^ 4) * (x ^ 4)
x ^ 16 = (x ^ 8) * (x ^ 8)
x ^ 32 = (x ^ 16) * (x ^ 16)
x ^ 31 = (x ^ 32) / x
只要6次乘或除法。

不过具体得出上述乘（除）法数更少的算法会变得相当复杂，在许多情况下时间收益还会得不偿失。因此往往并不实用。ACM Japan2006中有一道题即要求计算最少乘法数，可参看：