三维几何图形创作方法（Geometry3D）之三

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        前面我们介绍了三维图形的轴测投影画法，以及使用斜二测图画常见的三维多面体。本文介绍使用正等测图画常见的三维带圆弧的图形。

圆台

        在圆柱、圆锥、圆台中，我们从圆台开始，因为圆柱、圆锥其实是圆台的一种特例。

        这里，我们规定圆台上下两个面的半径（r，R）存在固定的比例，比如（r = R * 0.5）。

        在输入的两点 A、B 中，我们以 A 点作为小圆的圆心，规定 B 点作为大圆最右（左）侧点，假设圆台高为 h，那么显然有：

        那么，三维空间的圆，映射到二维平面，应该是什么图形呢？

        根据正等测投影变换，有：

        这里 (X，Y) 是圆的二维映射上的点坐标，所以有：

                

        对于平行于x、y 平面的圆，有 ，所以： 

                

        所以在正等测投影变换下，平行于x、y 平面的圆的二维映射是一个椭圆，且其长轴（平行于 x 轴）半径与圆的半径 r 相等，短轴半径为 。

圆锥

        当圆台上下两个面的半径（r，R）的比例为 0 时，即 r = 0 时，就变成圆锥。此时，小圆退化为一个顶点，。其他计算完成沿用圆台的过程就行了。

圆柱

        圆柱则更简单，将圆台上下两个面的半径（r，R）的比例设置为 1 即可。

球

        在输入的两点 A、B 中，我们以 A 点作为球心，两点距离作为半径（依据在下面说明）。

        在画球时，实际上是是画了三个圆心、半径都一样的圆。

        在上面我们已经证明 x，y 平面的圆（用平面  切球），其正等测投影是一个椭圆。

        我们再取平面，用这个面切取球形成的圆，我们来看看它的正等测投影是什么？

          结合投影变换、球方程：

    

        去掉 z，则：

        上面第一个式子平方求和，有：

        所以这个切面圆的正等测投影其实也是一个圆，并且半径与球的半径相等。 

        这就是为什么我们在画球时，一般会先直接画一个圆的原因了。另外可以规定输入的 B 点也在这个投影上，所以有“A、B 两点距离就是球的半径”这样的结论。

椭球

        椭球有三个轴，分别平行于 x、y、z轴，确定了球心和半径，就可以作图了。

        在三个轴中，我们规定有两个轴长是相等的，三个半径分别为：(w, h, h) 。所以椭圆方程为：

        在输入的两点 A、B 中，我们以 A 点作为球心，B 点作为切平面 所切椭圆的包围矩形的一个顶点。