迪杰斯特拉算法——最短路径算法

基本介绍

迪杰斯特拉（Dijkstra）算法是典型最短路径算法，用于计算一个结点到其他结点的最短路径。它的主要特点是以起始点为中心向外层层扩展（广度优先搜索思想），直到扩展到终点为止。

基本思想

• 集合S表示最短距离已经确定的顶点集。
• 其余的顶点放在另一个集合V-S中。
• 数组D来记录当前所找到的从源点s到每个顶点的最短特殊路径长度。
• 从尚未确定最短路径长度的集合V-S中取出一个最短特殊路径长度最小的顶点u，将u加入集合S，同时修改数组D中由s可达的最短路径长度。

实例

1. D的初始状态为：如果从源点s到顶点v有弧则D[v]记为弧的权值；否则将D[v]置为无穷大。
2. 每次从尚未确定最短路径长度的集合V-S中取出一个最短特殊路径长度最小的顶点u，将u加入集合S，同时修改数组D中由s可达的最短路径长度：若加进u做中间顶点，使得v_i的最短特殊路径长度变短，则修改v_i；的距离值（即当D[u]+W[u,v_i]<D[v_i]时，令D[v_i=D[u]+W[u,v_i]）。
3. 然后重复上述操作，一旦S包含了所有V中的顶点，D中各顶点的距离值就记录了从源点s到该顶点的最短路径长度。
   

算法复杂度

• 注意该算法要求图中不存在负权回路。
• 空间复杂度取决于存储方式，邻接矩阵为0（n2）。
• 时间复杂度取决于求权值最小边的方式：
  • 采用最小堆来选择权值最小的边，那么每次改变最短特殊路径长度时需要对堆进行一次重排，此时的时间复杂度为O（（n+e）loge），**适合于稀疏图。
  • 通过直接比较D数组元素 ，确定代价最小的边就需要总时间O（n²）；取出最短特殊路径长度最小的顶点后，修改最短特殊路径长度共需要时间O（e），因此共需要花费 O（n²） 的时间，这种方法适合于稠密图。

代码实现

有{A,B,C,D,E,F,G}七个点，从G点出发，分别到A,B,C,D,E,E六个点。

package com.shortest_path;
import java.util.Arrays;
public class DijikstraAlgorithm {

	public static void main(String[] args) {
		char[] vertex = { 'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G' };
		// 邻接矩阵
		int[][] matrix = new int[vertex.length][vertex.length];
		final int N = 65535;// 表示不可连接
		matrix[0] = new int[] { N, 5, 7, N, N, N, 2 };
		matrix[1] = new int[] { 5, N, N, 9, N, N, 3 };
		matrix[2] = new int[] { 7, N, N, N, 8, N, N };
		matrix[3] = new int[] { N, 9, N, N, N, 4, N };
		matrix[4] = new int[] { N, N, 8, N, N, 5, 4 };
		matrix[5] = new int[] { N, N, N, 4, 5, N, 6 };
		matrix[6] = new int[] { 2, 3, N, N, 4, 6, N };
		// 创建Graph对象
		Graph graph = new Graph(vertex, matrix);
		// 测试，看邻接矩阵是否正确
		graph.showGraph();
		// 测试，迪杰斯特拉
		graph.dsj(6);
		graph.showDijikstra();
	}

}

class Graph {
	private char[] vertex;// 顶点数组
	private int[][] matrix;// 邻接矩阵
	private VisitedVertex vv;// 已经访问的顶点的集合

	// 构造器
	public Graph(char[] vertex, int[][] matrix) {
		this.vertex = vertex;
		this.matrix = matrix;
	}

	// 显示结果
	public void showDijikstra() {
		vv.show();
	}

	// 显示图
	public void showGraph() {
		for (int[] link : matrix) {
			System.out.println(Arrays.toString(link));
		}
	}

	// 迪杰斯特拉算法实现
	public void dsj(int index) {
		vv = new VisitedVertex(vertex.length, index);
		update(index);// 更新index下标顶点到周围顶点的距离和前驱顶点
		for (int j = 1; j < vertex.length; j++) {
			index = vv.updateArr();
			update(index);
		}
	}

	// 更新index下标到周围顶点的距离和周围顶点的前驱顶点
	private void update(int index) {
		int len = 0;
		// 根据遍历我们的邻接矩阵的matrix[index]行
		for (int j = 0; j < matrix[index].length; j++) {
			// len含义：出发方法到index顶点的距离+从index顶点到j顶点的距离的和
			len = vv.getDis(index) + matrix[index][j];
			// 如果j顶点没有被访问过，并且len小于出发顶点到j顶点的距离，就需要更新
			if (!vv.in(j) && len < vv.getDis(j)) {
				vv.updatePre(j, index);// 更新j顶点的前驱为index顶点
				vv.updateDis(j, len);// 更新出发顶点的到j顶点的距离
			}
		}
	}

}

/**
 *
 * @ClassName:VisitedVertex
 *
 * @Description:TODO 已访问顶点集合
 */
class VisitedVertex {
	public int[] already_arr;// 记录各个顶点是否访问过 1表示访问过，0未访问，会动态更新
	public int[] pre_visited;// 每个下标对应的值为前一个顶点下标，会动态更新
	public int[] dis;// 记录出发顶点到其他所有顶点的距离，比如G为出发顶点，就会记录G到其它顶点的距离，会动态更新，求的最短距离就会存放到dis

	// 构造器
	/**
	 * @param length
	 *            表示顶点个数
	 * @param index
	 *            出发顶点对应的下标
	 */
	public VisitedVertex(int length, int index) {
		this.already_arr = new int[length];
		this.pre_visited = new int[length];
		this.dis = new int[length];
		// 初始化dis数组
		Arrays.fill(dis, 65535);
		this.already_arr[index] = 1;// 设置出发顶点被访问过
		this.dis[index] = 0;// 设置出发顶点的访问距离为0
	}

	/**
	 * @Method_Name:in
	 * @Description: 判断index是否被访问过
	 * @param index
	 * @return boolean
	 */
	public boolean in(int index) {
		return already_arr[index] == 1;
	}

	/**
	 * @Method_Name:updateDis
	 * @Description: 更新出发顶点到index的距离
	 * @param index
	 * @param len
	 *            void
	 */
	public void updateDis(int index, int len) {
		dis[index] = len;
	}

	/**
	 * @Method_Name:updatePre
	 * @Description: 更新pre这个顶点的前驱为index顶点
	 * @param pre
	 * @param index 
	 * void
	 */
	public void updatePre(int pre, int index) {
		pre_visited[pre] = index;
	}

	/**
	 * @Method_Name:getDis
	 * @Description: 返回出发顶点到index顶点的距离
	 * @param index
	 * @return int
	 */
	public int getDis(int index) {
		return dis[index];
	}

	// 继续选择并返回新的访问顶点
	public int updateArr() {
		int min = 65535, index = 0;
		for (int i = 0; i < already_arr.length; i++) {
			if (already_arr[i] == 0 && dis[i] < min) {
				min = dis[i];
				index = i;
			}
		}
		// 更新index 顶点被访问过
		already_arr[index] = 1;
		return index;
	}

	// 显示最后的结果
	public void show() {
		System.out.println("-----------");
		for (int i : already_arr) {
			System.out.print(i + " ");
		}
		System.out.println();
		for (int i : pre_visited) {
			System.out.print(i + " ");
		}
		System.out.println();
		for (int i : dis) {
			System.out.print(i + " ");
		}
		System.out.println();
		char[] vertex = { 'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G' };
		int count = 0;
		for (int i : dis) {
			if (i != 65535) {
				System.out.print(vertex[count] + "(" + i + ") ");
			} else {
				System.out.println("N");
			}
			count++;
		}
		System.out.println();
	}
}