2020/9/21 Acwing-背包问题1

前言

本文是我的第一篇SCDN博客，也是第一次尝试使用markdown在进行文本编辑。为了能够顺利获得实习机会，计划之后会花较多时间来刷算法题。写博客的目的是为了能够记录我在刷题过程中的思考，以及总结自己的思考过程，让整个解题流程更加清晰。因为算法题也是第一次接触，再加上本身计算机基础不是很好，所以希望能在之后写博客的过程中逐步提高。不指望能帮助到别人，只希望碰巧刷到这篇博客的同学不要被我错误的想法误导就好，如果错误下面有人指正就更好了。

背包问题分析

• 原题目：

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。
第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。
输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。
接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。
输出格式
输出一个整数，表示最大价值。
数据范围
0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000
输入样例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出样例：
8

• 解法：
  这是经典的动态规划问题，解决时采用从下至上的分析方法。
  定义一个数组k[i][j]，用来存储情况较简单时的最佳解法。也就是说，我们实际上算出了任意容量/考虑任意个物品数的所有这些情况的最佳解法了。对于此类问题，一定要找到
  1.初始条件—当物品数为0或者容量为0时，最大容量一定是为0的，由于数组初始化时就将所有元素置为0，所以在本题无需做初始化操作了。
  2.递推关系—对于任意的k[i][j],只考虑当前一个物品即可。

• 如果该物品已经比总容量还大了，那该物品就不纳入计算范围了。
  k[i][j]=k[i-1][j]
• 如果该物品小于总容量，那么就要对该物品的取舍做选择了
  1.如果选择了该物品，那么此时的容量就要减少该物品占据的体积了，此时找到之前计算出的剩余体积的最大价值，加上该物品的价值就是这种条件下的最大价值。
  k[i][j]=k[i-1][j-v[i]]+w[i]
  2.如果不选择该物品，那么此时的最大价值就是之前的最大价值了
  k[i][j]=k[i-1][j]
  最后，在这两种情况中，选择二者中的最大值即可。

下面对我自己的一些疑问点做一个FAQ：
Q：既然当前物品体积小于容量，为什么还不选？为什么要计算两种情况，取两种情况的最大值？
A：因为并不一定能装进去就一定要选，如果装进去的是体积大又价值低的就会浪费空间，将本来可以放更多有价值的空间占据了；如果都不选的话，又可能浪费高价值的物品，因为对于这次选择，只有选与不选两者可能，所以取两者的最大值是将所有情况考虑周全的解法。

Q：在思考问题的时候找到了递推关系和初始条件就一定能解出答案吗？
A：按理来说，只要给的初始条件足够充足，加上递推关系就一定能解出任何想要的问题。对于本题来说，每一列的值其实都是由它左边一列作为条件算出的，而第一列其实全部都是已知的初始条件。因此，从左至由，整个表格其实都是可以推出的。

	物品数	0	1	2	3	4
容量	0	0	0	0	0	0
0	0	0	0	0
1	0	2
2	0	2
3	0	2
4	0	2

换言之，如果初始条件不够充足，可能无法得到所有问题的解，但是对于某些问题，还是可以由初始条件推到的。

Java实现的源代码：

package com.firstjava;

import java.util.Scanner;

class helloclass {
    public static void main(String[] args) throws Exception {
        Scanner sc=new Scanner(System.in);
        int m=sc.nextInt();
        int n=sc.nextInt();
        int MAX=1000;//这里提交失败了，提示越界，因为mn最大值都是到1000，如果Max=1000的话下标为（0~999），无法为w【1000】赋值，故此处Max=1001
        int[] v=new int[MAX];
        int[] w=new int[MAX];
        int[][] k=new int[MAX][MAX];
        for(int i=1;i<=m;i++){
            v[i]=sc.nextInt();
            w[i]=sc.nextInt();
        }
        for(int i=1;i<=m;i++){
            for(int j=1;j<=n;j++){
                k[i][j]=k[i-1][j];
                if(v[i]<=j){
                    k[i][j]= Math.max(k[i-1][j],k[i-1][j-v[i]]+w[i]);
                }
            }
        }
        for (int i = 0; i <= m; i++) {
            for (int j = 0; j <=n; j++) {
                System.out.println("k["+i+"]["+j+"]="+k[i][j]);
            }
        }

        }
}