1、工程问题中数值方法与MATLAB应用：基础理论与结构分析

工程问题中数值方法与MATLAB应用：基础理论与结构分析

在工程领域，梁、板和壳是常见的结构元素，广泛应用于机械、土木和航空航天等众多领域。对这些结构进行精确的建模和力学分析至关重要，下面将详细介绍相关的基础理论。

1. 引言

梁、板和壳作为重要的结构元素，其力学性能的研究对于工程设计和分析具有关键意义。为了更好地理解和解决相关工程问题，需要掌握多种梁、板和壳理论。

2. 应变 - 位移方程

当连续体受到物理作用时，假设其发生连续变化，不考虑断裂情况。在连续介质力学中，有两种描述运动和变形的方法：拉格朗日描述和欧拉描述。

• 拉格朗日描述 ：将物体的运动参考到初始未变形的构型，即物体在时间 $t = 0$ 时的构型。此时，当前坐标 $x_i$ 可以表示为参考坐标 $X_i$ 和时间 $t$ 的函数：
• $x = \tilde{x}(X, t)$，且 $x(X, 0) = X$。
• 欧拉描述 ：将物体的运动参考到当前变形后的构型，典型变量 $\chi$ 用当前位置表示。
• $\chi = \tilde{\chi}(x, t)$，$X = \tilde{X}(x, t)$。

当物体的构型因外力而改变时，位移向量 $u$ 可表示为：
$u = x - X$。

在本文中，由于拉格朗日描述的简单性和便利性，采用该描述方法。为了得到拉格朗日（或格林）应变张量，位移向量 $u_i$ 的分量是 $x_i$ 的函数。

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