9、正则化方法：Ridge与Lasso的原理、比较及应用

正则化方法：Ridge与Lasso的原理、比较及应用

在统计学中，当样本数量与变量数量的关系不满足常规条件时，参数估计会变得困难。此时，正则化方法成为解决问题的有效手段。本文将详细介绍两种常见的正则化方法：Ridge和Lasso，包括它们的原理、实现步骤、几何意义以及如何设置关键参数λ。

1. 正则化概述

在统计分析中，通常假设样本数量N大于变量数量p。若不满足此条件，线性回归可能无法得到最小二乘解，或者需要通过比较2^p个子集的信息准则值来寻找最优变量集，这使得参数估计变得困难。为解决这一问题，正则化方法应运而生。在线性回归中，正则化通过在平方误差中添加惩罚项来防止系数值过大。当正则化项为常数λ乘以系数的L1和L2范数时，分别称为Lasso和Ridge方法。在Lasso方法中，随着常数λ的增加，一些系数会变为0，当λ趋于无穷大时，所有系数都变为0，因此Lasso具有模型选择的作用。

2. Ridge方法

Ridge方法通过在平方误差的基础上添加系数的L2范数惩罚项来最小化目标函数。具体来说，目标函数为：
[L := \frac{1}{N} |y - X\beta|^2 + \lambda |\beta|_2^2]
其中，(X \in R^{N\times p})，(y \in R^N)，(\beta \in R^p)，(\lambda \geq 0)为常数。

对(L)关于(\beta)求导并令其等于0，可得：
[0 = -\frac{2}{N} X^T (y - X\beta) + 2\lambda\beta]
若(X^T X + \lambda I)非奇异，则解为：
[\hat{\b