并查集（树的应用、集合）

并查集是一种简单的集合表示，它支持以下3 种操作：

• Union(S,Root1,Root2): 把集合S中的子集合Root2并入子集合Root1。要求Root1和 Root2互不相交，否则不执行合并。
• Find(S,x)：查找集合S中单元素 x 所在的子集合，并返回该子集合的名字。
• Initial(S)：将集合S中的每个元素都初始化为只有一个单元素的子集合。

        通常用树（森林）的双亲表示作为并查集的存储结构，每个子集合以一棵树表示。所有表示 子集合的树，构成表示全集合的森林，存放在双亲表示数组内。通常用数组元素的下标代表元素名，用根结点的下标代表子集合名，根结点的双亲结点为负数。

        在采用树的双亲指针数组表示作为并查集的存储表示时，集合元素的编号从0 到 size-1其 中 ，size是最大元素的个数。下面是并查集主要运算的实现。

定义

#define SIZE 100 
int UFSets[SIZE]; //集合元素数组（双亲指针数组）

初始化

void Initial(int S []){
    for(int i=0;i<size;i++) //每个自成单元素集合 
        S[i]=-1;
}

Find操作 

int Find(int S [], int x){ 
    while（S[x]>=0） //循环寻找x的根 
        x=S[x]； 
    return x; //根的S[]小于0 
}

Union操作

void Union(int S [], int Rootl, int Root2){ //要求Rootl与Root2是不同的，且表示子集合的名字 
    Root2=Find(S,Root2);
    Root1=Find(S,Root1);
    if(Root1!=Root2)
      S[Root2] = Rootl; //将根 Root2 连接到另一根 Rootl 下面 
}

并查集优化

1、路径压缩

        把沿途的每个节点的父节点都设为根节点，在下一次查询时就可在O(1)时间内查到。

int Find(int S [], int x){ 
	if（S[x]>=0） //递归寻找x的根，并设其父为根节点  
    return x; 
	else{
		S[x]=Find(S,S[x]);
		return S[x];
	}
}

查找时间复杂度：

合并时间复杂度：

2、按秩合并

        新增一个rank[x]数组记录x元素在所在集合构成的森林中的层数，即元素x的秩(初始层数均为1)。

        合并策略为：让秩较小的节点所在的树成为秩较大的节点的子树。

void Union(int S [],int rank[] int Rootl, int Root2){ //要求Rootl与Root2是不同的，且表示子集合的名字 
    Root1=Find(Root1);
  	Root2=Find(Root2);
	if(Root1=Root2){
  	return;
	}
	//按秩小的为子树合并
	if(rank[Root1]>=rank[Root2]){
  	S[Root2]=Root1;
  	if(rank[Root1]==rank[Root2]){//如果两几何层数相同，那么作为根节点的root1层数会增加1
  		rank[Root1]++;
  	}
  }else{
  	S[Root1]=Root2;
  }
}

查找时间复杂度：

合并时间复杂度：