信息学奥赛一本通 1324：【例6.6】整数区间

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ybt 1324：【例6.6】整数区间

【题目考点】

1. 贪心

2. 贪心选择性质的证明

要想证明贪心选择可以得到最优解，只需要证明最优解包含每一次的贪心选择。
使用数学归纳法：

1. 证明最优解包含第一次的贪心选择
2. 假设存在最优解包含前k次的贪心选择，证明该最优解包含第k+1次的贪心选择

【解题思路】

每次选择右端最小的区间的右端数字，并删掉所有包含该数字的区间。
用数学语言说，现有区间：$e_1=[l_1,r_1],e_2=[l_2,r_2],...,e_n=[l_n,r_n]$
选择右端点r最小的区间$e_m=[l_m,r_m]$，删掉所有满足$r_m\in e_x$的区间$e_x$

1. 贪心选择性质的证明：

贪心选择：每次选择右端最小的区间的右端点数字

1. 证明：存在最优解包含右端最小的区间的右端点数字

记右端最小的区间为$e_m=[l_m,r_m]$，证明存在最优解包含$r_m$
使用反证法：假设所有最优解都不包含$r_m$
对于某一最优解，根据题意：“对于每一个区间,都至少有一个整数属于该集合”，所以一定要在区间$e_m$中选择一个数字。假设该最优解中选择了区间$e_m$中的数字$x$且$x\ne r_m$，包含x的区间有p个，组成的集合为： E x = { e x 1 , e x 2 , . . . , e x p } E_x = \{e_{x1},e_{x2},...,e_{xp}\} Ex​={ex1​,ex2​,...,exp​}，选择x后，这些区间都被删掉，不再被考虑。
现在考虑在该最优解中用$r_m$替换$x$，包含$r_m$的区间有q个，组成集合为： E r = { e r 1 , e r 2 , . . . , e r q } E_r=\{e_{r1},e_{r2},...,e_{rq}\} Er​={er1​,er2​,...,erq​}，由于$e_m$是右端最小的区间，所以$E_x$中的所有区间的右端都大于等于$r_m$，也就是说$r_m$在$E_x$的每个区间中，亦即$E_x\subseteq E_r$。选择$r_m$后，$E_r$中的所有区间都被删除，包括了$E_x$中的所有区间。该最优解中其他数字不变，仍然可以形成一组最优解。而这组最优解包含了$r_m$，与假设相悖。因而原命题得证。

2. 证明：在k次贪心选择后，存在最优解包含这一次的贪心选择：剩余的区间中右端最小的区间的右端点数字

证明方法与证明第1点相似，不再赘述。

2. 具体做法

将所有区间排序，排序规则为：右端小的排在前面；如果右端相同，那么左端小的排在前面。
按顺序遍历各个区间，选择当前区间的右端点并记录，选择的数字个数加1。
继续遍历，如果当前区间的左端点小于等于之前记录的右端点，那么略过这个区间。
如果当前区间左端点大于之前记录的右端点，那么选择当前区间的右端点并记录，选择的数字个数加1。
重复上述过程，直至遍历完所有区间。

【题解代码】

解法1：贪心

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct Sec
{
	int l, r;//l：区间左端点 r：区间右端点 
};
bool cmp(const Sec &a, const Sec &b)
{//右端点更小的排在前面，右端点相同则左端点更小的在前面 
    return a.r < b.r || a.r == b.r && a.l < b.l;
}
int main()
{
    Sec s[10005];
   	int n, ct = 0, lastR = -1;//lastR:上一个选择的右端点 ct:选择的数字个数
   	cin >> n;
	for(int i = 1; i <= n; ++i)
   		cin >> s[i].l >> s[i].r;
   	sort(s+1, s+1+n, cmp);
	for(int i = 1; i <= n; ++i) if(s[i].l > lastR)
    {
       ct++;
       lastR = s[i].r;   
    }
    cout << ct;
    return 0;
}