信息学奥赛一本通 1924：【03NOIP普及组】栈 | 洛谷 P1044 [NOIP2003 普及组] 栈

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ybt 1924：【03NOIP普及组】栈
洛谷 P1044 [NOIP2003 普及组] 栈

【题目考点】

1. 递推、递归

2. 栈

3. 打表

4. 卡特兰数

【解题思路】

解法1：一维递推

• 设数组a，a[i]表示i个数组成的数列经过栈处理后得到的数列总数

• 易知：a[1] = 1。特殊地，将a[0]也设为1。

• 1~n组成数列，要经过栈处理后形成一个数列，要经历以下几个阶段。

  • 1入栈
  • l个数字入栈出栈，经过栈处理形成数列1。（0 <= l <= n-1)
  • 1出栈
  • r个数字入栈出栈，经过栈处理形成数列2。（0 <= r <= n-1)

• 其中l + r + 1 = n，最后得到的数列为：数列1,1,数列2

• 由l个数字经过栈处理形成数列1，种类数为a[l]，同理，由r个数字组成的数列2的种类数为a[r]。则类似"数列1,1,数列2"的数列的种类数为：a[l]*a[r]。

• 1在最终数列中若是第1个数字，此时l为0， r为n-1。1在最终数列中若是第2个数字，此时l为1，r为n-2。将相关量列成表格，有：

1是数列中第几个数字	l	r
1	0	n-1
2	1	n-2
…	…	…
n-1	n-2	1
n	n-1	0

1在每个位置时，最终数列的种类数为：a[l]*a[r]。已知r = n - 1 - l，即为a[l]*a[n-1-l]
每种数列的种类数加和即为n个数字经过栈处理后得到的数列种类数，其值为:
$a[n]={\sum }_{l=0}^{n-1}a[l]\ast a[n-1-l]$
该公式即为卡特兰数的递推公式。

解法2：二维递推

设递推状态a[i][j]为：当操作数序列有i个数字，栈中有j个数字时，可以形成的序列数目。

• 当操作数序列为空时，没有数字可以入栈，只能进行出栈动作，此时可以形成的序列只有1种。即i为0时，a[i][j]=1。
• 当栈为空时，只能进行入栈操作，所以有：当j为0时，a[i][j] = a[i-1][1];
• 当操作数有i个，栈中有j个数时，可以有两种操作：
  操作1： 将一个数字从操作数序列中取出，进栈，这样做后，操作数剩余i-1个，栈中有j+1个数，可以形成a[i-1][j+1]种序列。
  操作2： 栈中栈顶数字出栈。这样做后，操作数剩余i个，栈中有j-1个数，可以形成a[i][j-1]种序列
  所以有：a[i][j] = a[i-1][j+1] + a[i][j-1];

解法3：记忆化递归

思路与上述递推大体相同，用记忆化递归来做。

解法4：模拟+搜索+打表

由于输入数据数量十分有限（1~18），因此可以进行打表。
根据题目描述，在打表程序中，用搜索的写法模拟一个序列入栈和出栈的过程，将结果输出到文件或拷贝控制台的输出结果。打表程序大约会运行30秒到1分钟。
将打表得到的结果复制到题解程序中，作为数组的初值。题解程序直接查询数组的值即可。

【题解代码】

解法1：一维递推

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, a[25];
int main()
{
    cin >> n;
    a[0] = a[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= n; ++i)
        for(int l = 0; l <= i-1; ++l)
            a[i] += a[l]*a[i-1-l];
    cout << a[n];
    return 0;
}

解法2：二维递推

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
    int n, a[20][20];//a[i][j]:当操作数序列有i个数字，栈中有j个数字时，可以形成的序列数目。
    cin>>n;
    for(int i = 0; i <= n; ++i)
        for(int j = 0; j <= n; ++j)
        {
            if(i == 0)
                a[i][j] = 1;
            else if(j == 0)
                a[i][j] = a[i-1][1];
            else
                a[i][j] = a[i-1][j+1] + a[i][j-1];
                
        }
    cout<<a[n][0];
    return 0;
}

解法3：记忆化递归

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int f[20][20]; //f[i][j]:当操作数序列有i个数字，栈中有j个数字时，可以形成的序列数目。
int seqNum(int i, int j)//求f[i][j]
{
    if(f[i][j] == 0)//如果没求出过f[i][j]，则求一下 
    {
        if(i == 0)
            f[i][j] = 1;
        else if(j == 0)
            f[i][j] = seqNum(i-1, 1);
        else
            f[i][j] = seqNum(i-1, j+1) + seqNum(i, j-1);
    }
    return f[i][j];
}
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    cout<<seqNum(n, 0);
    return 0;
}

解法4：模拟+搜索+打表

• 打表程序（运行30秒到1分钟）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int ct, n;
stack<int> stk;
void dfs(int k)
{
	if(k > n)
	{
		ct++;
		return;
	}
	if(stk.empty() == false)
	{
		int top = stk.top();
		stk.pop();
		dfs(k);
		stk.push(top);
	}
	stk.push(k);
	dfs(k+1);
	stk.pop();
}
int main()
{
	bool isFirst = true;
	for(n = 0; n <= 18; ++n)
	{
		stk = stack<int>();
		ct = 0;
		dfs(1);
		if(isFirst)
			isFirst = false;
		else
			cout << ',';
		cout << ct;
	}
	return 0;
}

• 题解程序

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
	int n, ans[20] = {1,1,2,5,14,42,132,429,1430,4862,16796,58786,208012,742900,2674440,9694845,35357670,129644790,477638700};
	cin >> n;
	cout << ans[n];
	return 0;
}