2024-2025-1 山东大学《算法设计与分析》期末（回忆版）

2024-2025-1 山东大学《算法设计与分析》期末（回忆版）

计算机科学与技术学院：时阳光老师

参考教材：算法导论（原书第 3 版）/（美）科尔曼（Cormen，T. H.）等著；殷建平等译. ——北京：机械工业出版社，2013.1（2023.10 重印）
（计算机科学丛书）
书名原文：Introduction to Algorithms, Third Edition
ISBN 978-7-111-40701-0

模拟 - BFS

给定一个无向图 $G$，画出在其上运行 $BFS$ 后生成的广度优先树并写出每个节点的 $d$ 值

模拟 - 最大流

给定一个有向图 $G$，要求给出具体过程

模拟 - Floyd-Warshall 算法

给定一个有向图 $G$，列出在其上运行 $Floyd-Warshall$ 算法过程中的所有 $D$ 矩阵

证明 - 图相关

有向图 $G$ 无环当且仅当 $DFS(G)$ 不生成返回边

证明 - Prim 算法正确性

若 $A$ 是图 $G$ 的某棵最小生成树的边的子集，$(X,Y)$ 是图 $G$ 中任意一个尊重 $A$ 的切割，证明：
对于横跨切割 $(X,Y)$ 的一条轻边 $(u,v)$，有 $A\cup \{(u,v)\}\subseteq T$，其中 $T$ 是图 $G$ 的一棵最小生成树

判断 - DFS 与边分类

判断以下命题，若正确请给出证明，若错误请举出反例并解释：
( 1 ) 若 $d[u]<d[v]$，则 $u$ 是 $v$ 的祖先
( 2 ) 若 $d[u]<d[v]$，则 $(u,v)$ 是树边

判断 - 松弛

对于图 $G$ 中的一条边 $(u,v)$，是否在松弛 $(u,v)$ 一次之后，就恒有 $d[v]\le d[u]+w(u,v)$ 成立？也就是说，无论后续对其他边松弛多少次都不会改变该不等式吗？若不会改变则给出证明，若会改变则举出反例并解释。

算法设计 - 动态规划

有向无环图，求最长路，要求使用动态规划设计

算法设计 - 单源最短路径

给定一个有向带权图 $G$，边权表示该边能够成功通过的概率 $q$，一条路径的通过概率为这条路径上所有边权之积

提示：可通过变换 $w(u,v)=-{log}_{2}q(u,v)$

( 1 ) 设计一个算法，求解源点 $s$ 到终点 $t$ 的具有最大通过概率的路径
( 2 ) 在题目所给出的图 $G$ 上运行所设计的算法
( 3 ) 证明所设计的算法的正确性

注：

• 全部都是大题，无小题，偏重证明与设计，也涉及过程推演
• 部分题面全英描述，其余题面中文描述

以上回忆版仅供参考，预祝各位都能取得自己理想的成绩！