一、理论基础
其实在讲解二叉树的时候，就给大家介绍过回溯，这次正式开启回溯算法，大家可以先看视频，对回溯算法有一个整体的了解。题目链接/文章讲解：代码随想录
1. 什么是回溯
有回溯就有递归，回溯函数就是递归函数。
2. 使用原因及解决的问题
（1）使用原因：纯暴力，但有些问题必须采用回溯，因为for循环嵌套搜索失效。
（2）解决问题：
- 组合问题：N个数里面按一定规则找出k个数的集合
- 切割问题：一个字符串按一定规则有几种切割方式
- 子集问题：一个N个数的集合里有多少符合条件的子集
- 排列问题：N个数按一定规则全排列，有几种排列方式
- 棋盘问题：N皇后，解数独等
注意区别：组合是不强调元素顺序的，排列是强调元素顺序。
3. 如何理解回溯法
回溯法可以抽象为一个树形结构（N叉树），因为回溯就是一个递归的过程；回溯抽象为N叉树，横向for循环，纵向递归。
4. 回溯模板
（1）确定递归函数的参数和返回值：一般来说，回溯法没有返回值，参数较多，一开始无法直接写出参数，所以在写的过程中添加参数即可。
（2）确定终止条件：在终止条件中收集结果（if 语句）。
（3）单层递归逻辑：for循环的参数用于处理集合每一个元素，也就是for循环遍历集合的每一个参数，然后在循环中处理节点，然后进入递归过程，最后回溯（撤销处理节点的情况）。
void backtracking(参数) {
if (终止条件) {
存放结果;
return;
}
for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {
处理节点;
backtracking(路径，选择列表); // 递归
回溯，撤销处理结果
}
}
二、77. 组合
对着 在 回溯算法理论基础 给出的 代码模板，来做本题组合问题，大家就会发现 写回溯算法套路。在回溯算法解决实际问题的过程中，大家会有各种疑问，先看视频介绍，基本可以解决大家的疑惑。
本题关于剪枝操作是大家要理解的重点，因为后面很多回溯算法解决的题目，都是这个剪枝套路。
题目链接/文章讲解：代码随想录
1. 代码实现
（1）定义全局变量一维数组path和二维数组result。
（2）确定递归函数的参数和返回值：传入的参数n表示数组的大小，k表示组合的大小，startindex表示本次搜索的起始位置。
（3）确定终止条件：抵达叶子节点，也就是path的大小等于k，然后使用result数组收集这个结果，然后返回即可。
（4）单层递归逻辑：每个节点实际上都是一个for循环，for循环中起始位置是startindex去遍历剩余元素。先把第i个元素放进path，然后进入递归，传入n、k、i+1，这样从第i+1个元素开始搜索；最后进行回溯过程，将path清空。
class Solution:
def combine(self, n: int, k: int) -> List[List[int]]:
result = []
self.backTracking(n, k, 1, [], result)
return result
def backTracking(self, n, k, startindex, path, result)->List[List[int]]:
if len(path) == k:
result.append(path[:])
return
for i in range(startindex, n+1):
path.append(i)
self.backTracking(n, k, i+1, path, result)
path.pop()2. 代码易错点
(1). 代码里为什么要写成result.append(path[:])而不是写result.append(path)：
在这段代码中，result.append(path[:])的使用是为了确保添加到result列表中的每个组合都是path列表的一个独立副本，而不是对path的引用。这是因为path在递归过程中会被修改（通过path.append(i)和path.pop()），如果我们直接添加path本身到result中，那么当path在后续的递归中被修改时，已经添加到result中的列表也会受到影响，因为它们指向的是同一个对象。
详细解释如下：
-
列表是可变的：在Python中，列表是可变的数据类型。这意味着如果你将一个列表赋值给另一个变量，或者将一个列表作为元素添加到另一个列表中，这两个变量实际上引用的是同一个列表对象。因此，通过一个变量对列表所做的修改会影响到另一个变量。
-
递归中的状态变化：在回溯算法中，
path列表用于存储当前的组合状态。随着递归的进行，path会被不断地修改（添加元素和移除元素）。 -
避免共享状态：当你找到一个满足条件的组合（即
len(path) == k）时，你需要将这个组合保存下来。如果此时你使用result.append(path)，你实际上是在向result中添加了一个对当前path状态的引用。由于path在后续的递归中会被修改，这个引用所指向的列表内容也会改变。 -
创建副本：为了避免这个问题，
path[:]创建了一个path的浅拷贝。这意味着你得到了一个新的列表，它与path有相同的元素，但它们是两个不同的对象。因此，当path在后续的递归中被修改时，这个新列表的内容不会受到影响。
所以，result.append(path[:])确保了每个添加到result中的组合都是独立的，不会受到后续递归中path修改的影响。这是回溯算法中一个常见的技巧，用于正确处理可变数据结构在递归过程中的状态变化。
(2). 为什么使用path.pop()而不是path = []来重置path列表
在回溯算法中，使用path.pop()而不是path = []来重置path列表的原因在于它们对列表对象本身的影响不同。
path.pop()：path.pop()方法会从path列表的末尾移除一个元素，并返回这个被移除的元素。- 在回溯算法中，这通常用于撤销上一次的选择，以便尝试其他可能的选择。
- 当递归调用返回时，我们需要回到上一次的状态，以便继续搜索。使用
path.pop()可以保留path列表之前的所有元素，只移除最后添加的那个元素。
path = []：path = []会创建一个新的空列表，并将变量path指向这个新列表。- 这意味着原来的
path列表（以及可能包含的对它的引用）将被丢弃，所有之前添加到path中的元素都将丢失。 - 在回溯算法中，如果我们使用
path = []来重置列表，我们将无法撤销上一次的选择，因为我们已经丢弃了包含之前所有选择的原始列表。
在回溯过程中，我们需要能够回溯到之前的每一步，以便尝试所有可能的选择。为了实现这一点，我们必须保留每一步的状态，并在需要时能够撤销选择。path.pop()允许我们这样做，因为它只移除最后添加的元素，而不影响列表中的其他元素。
因此，在回溯算法中，我们通常使用path.pop()（或类似的撤销操作）来回到上一步的状态，而不是创建一个全新的列表并丢弃之前的状态。这样做可以确保我们能够正确地遍历所有可能的解，并且每个解都是基于之前步骤的有效选择构建的。
3. 组合问题的剪枝操作
所以，可以剪枝的地方就在递归中每一层的for循环所选择的起始位置。
如果for循环选择的起始位置之后的元素个数 已经不足 我们需要的元素个数了，那么就没有必要搜索了。
class Solution:
def backTracking(self, n, k, startindex, path, result)->List[List[int]]:
if len(path) == k:
result.append(path[:])
return
for i in range(startindex, n-(k-len(path))+2):
path.append(i)
self.backTracking(n, k, i+1, path, result)
path.pop()
def combine(self, n: int, k: int) -> List[List[int]]:
result = []
path = []
self.backTracking(n, k, 1, path, result)
return result
三、216.组合总和III
如果把 组合问题理解了，本题就容易一些了。题目链接/文章讲解：代码随想录
视频讲解：和组合问题有啥区别？回溯算法如何剪枝？| LeetCode：216.组合总和III_哔哩哔哩_bilibili
1. 代码实现
（1）首先定义变量result（存放结果集）和path（收集组合）。
（2）确定递归函数的参数和返回值：参数targetSum相当于题目中相加为n；k是要求的组合数，用于控制树的深度；sum是当前组合数的加和，用于与targetSum进行比较；startindex用于控制当前递归层取数的起始位置，初始化为1开始。
（3）确定终止条件：当path的长度等于要求的k，那么终止递归；然后判断组合的和等于targetSum，那么它是满足目标值的组合，放进结果集。
（4）单层递归逻辑：for循环，从startindex开始（相当于从1开始，因为题目说明了数字从1-9），到9结束：遍历i，就把i加入进sum中，同时集合path收集i，然后继续递归，传入targetsum、k、sum、i+1。然后进行回溯，sum-i，将path弹出。
（5）剪枝操作（本题有组合个数和组合总和均有要求，因此可以从这两个角度剪枝）：如果sum>targetsum，可以直接return，没有必要再递归了；此外，从元素角度进行考虑可以剪枝，如果横向元素个数不足k，那么继续向后遍历也没有意义，无法凑成元素个数为k的组合。
class Solution:
def backTracking(self, targetSum, sum, k, startindex, path, result):
if targetSum < sum: return
if len(path) == k:
if sum == targetSum:
result.append(path[:])
return
for i in range(startindex, 9-(k-len(path))+2):
sum += i
path.append(i)
self.backTracking(targetSum, sum, k, i+1, path, result)
sum -= i
path.pop()
def combinationSum3(self, k: int, n: int) -> List[List[int]]:
result = []
path = []
self.backTracking( n, 0, k, 1, path, result)
return result四、17.电话号码的字母组合
本题大家刚开始做会有点难度，先自己思考20min，没思路就直接看题解。题目链接/文章讲解：代码随想录
1. 代码实现
（1）定义字符串string，用于收获单个结果；定义string类型的数组result，用于收集结果。
（2）确定递归的返回值和参数：参数digits是字符串类型，参数index表明当前递归到哪一个数字了。
（3）确定终止条件：index指向空才能结束递归，因为如果指向最后一个数字就终止的话，最后一个数字没有得到下面的递归处理，导致结果集不完整。在叶子节点收获结果：将path放入结果集result，最后return。
（4）单层递归逻辑：由于digit是一个字符串，所以需要将里面的字符单独取出来，将字符数字转变为真正的数字。然后根据这个数字，在map里面找数字对应的字符串。for循环在字符串里获取字符，将字符放进自定义的字符串里，继续递归，传入digits和index+1（在另一个字符串里进行搜索）；最后进行回溯string.pop()。
class Solution:
def __init__(self):
self.lettermap=[
"abc", # 2
"def", # 3
"ghi", # 4
"jkl", # 5
"mno", # 6
"pqrs", # 7
"tuv", # 8
"wxyz" # 9
]
self.result = []
self.s = ''
def backTracking(self, digits, index):
if index == len(digits):
return self.result.append(self.s)
digit = int(digits[index])
letter = self.lettermap[digit-2]
for i in range(len(letter)):
self.s += letter[i]
self.backTracking(digits, index+1)
self.s = self.s[:-1]
def letterCombinations(self, digits: str) -> List[str]:
if len(digits) == 0:
return self.result
self.backTracking(digits,0)
return self.result2. 代码易错点
不可以对字符串（str）对象使用 .append() 方法，因为字符串并没有这个方法。.append() 方法是用于列表（list）的，用于在列表末尾添加一个新的元素。字符串可以用join()或直接相加减。
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