机器学习入门——神经网络深入

本文深入探讨了神经网络的工作原理,包括代价函数的概念及其在神经网络中的应用,并详细介绍了反向传播算法。此外,还提供了使用TensorFlow实现神经网络的具体案例。

9 神经网络深入

在第8章中,我们讲解了神经网络的初步认知,主要是理解了引入神经网络的意义及其前向传播过程。本章我们将进一步理解神经网络,理解它是如何自动优化参数,使其能完成分类、预测等功能的。


9.1 代价函数(Cost Function)

像之前讲解的线性回归和Logistic回归一样,涉及到优化参数的问题,我们必须求出该算法的代价函数。

假设有一组训练数据,,如果不考虑正则化的话,

对于线性回归,其代价函数为:

对于Logistic回归,其代价函数为:

对于神经网络,如果激活函数是Logistic的话,它的形式和Logistic回归有些类似。

假设:神经网络假设函数为K维向量,,则有:



9.2 反向传播



如上图,根据我们已经学习的神经网络前向传播,有:

前向传播只是不断地往后计算,最终给出分类的结果,但是,这个分类结果的正确性却没有保证,这时就要像之前的分类算法一样,通过减少误差,不断调整Θ(即权重)的值,保证得出的分类结果的正确性。这时候,科学家研究了一个算法完成这个任务,这个算法就是神经网络的后向传播

神经网络的后向传播(Backpropagation)

我们设第l层,第j个单元的“误差”为 ,则对于上图的神经网路的后向传播为:

上式涉及到Logister的导数计算,这里进行简单的推导。



这样,当时,

后向传播是为了求解最优的权重参数的,那么怎么把前面的结合起来呢?

根据之前学过的线性回归和Logistic回归,要求解权重参数(θ),关键是求解出。同样,在神经网络中也不例外。

神经网络中,之前提及到有J(Θ),为了之后的推到计算方便,我们这里做一个近似,,接着我们需要求解,下面我们分输出层和隐含层两部分进行简单的推导。

输出层:

输出层误差:计算误差反向传播的输出层的梯度和微分,用于更新输出层权值。

输出层的微分形式可以写成如下形式:


下面我们将上述偏导分左右推导,(这里我们矢量化表示,L表示神经网络的总层数

左项推导,得到:



右项推导,得到:

将两项结合在一起,有:



当然,在视频中的输出层的更为简化,直接为:

隐含层

同理可得,

因此,如果使用梯度下降算法,则有:



这里的δ要对应相应的层,而η则类似学习速率,这里指的是网络设计参数。


9.3 编程实战

神经网络的数学理论相对之前的算法是更为复杂的,特别是后向传播。下面,我们结合具体的例子,编程实现神经网络,也许实战过后,对神经网络的认识会更加深刻具体。

这里,我们使用tensorflow神经网络框架,快速实现神经网络的构建。

下面是实战的全部代码:

#!/usr/bin/env python2
# -*- coding: utf-8 -*-
'''
Author: louishao

reference
    Project: https://github.com/aymericdamien/TensorFlow-Examples/
'''

from __future__ import print_function

# Import MNIST data
from tensorflow.examples.tutorials.mnist import input_data
mnist = input_data.read_data_sets("/tmp/data/", one_hot=True)

import tensorflow as tf

# Parameters
learning_rate = 0.01
training_epochs = 200
batch_size = 100
display_step = 1

# Network Parameters
n_hidden_1 = 256 # 1st layer number of features
n_hidden_2 = 256 # 2nd layer number of features
n_input = 784 # MNIST data input (img shape: 28*28)
n_classes = 10 # MNIST total classes (0-9 digits)

# tf Graph input
x = tf.placeholder("float", [None, n_input])
y = tf.placeholder("float", [None, n_classes])


# Create model
def multilayer_perceptron(x, weights, biases):
    # Hidden layer 1
    layer_1 = tf.add(tf.matmul(x, weights['h1']), biases['b1'])
    # Use sigmoid as activation
    layer_1 = tf.nn.softmax(layer_1)
    #layer_1 = tf.nn.relu(layer_1)

    # Hidden layer 2
    layer_2 = tf.add(tf.matmul(layer_1, weights['h2']), biases['b2'])
    layer_2 = tf.nn.softmax(layer_2)
    #layer_2 = tf.nn.relu(layer_2)

    # Output layer with linear activation
    out_layer = tf.matmul(layer_2, weights['out']) + biases['out']
    return out_layer

# Store layers weight & bias
weights = {
    'h1': tf.Variable(tf.random_normal([n_input, n_hidden_1])),
    'h2': tf.Variable(tf.random_normal([n_hidden_1, n_hidden_2])),
    'out': tf.Variable(tf.random_normal([n_hidden_2, n_classes]))
}
biases = {
    'b1': tf.Variable(tf.random_normal([n_hidden_1])),
    'b2': tf.Variable(tf.random_normal([n_hidden_2])),
    'out': tf.Variable(tf.random_normal([n_classes]))
}

# Construct model
pred = multilayer_perceptron(x, weights, biases)

# Define loss and optimizer
# Define the cost function
cost = tf.reduce_mean(tf.nn.softmax_cross_entropy_with_logits(pred, y))
# Gradient Descent 
optimizer = tf.train.GradientDescentOptimizer(learning_rate).minimize(cost)
#optimizer = tf.train.AdamOptimizer(learning_rate=learning_rate).minimize(cost)

# Initializing the variables
init = tf.initialize_all_variables()

# Launch the graph
with tf.Session() as sess:
    sess.run(init)

    # Training cycle
    for epoch in range(training_epochs):
        avg_cost = 0.
        total_batch = int(mnist.train.num_examples/batch_size)
        # Loop over all batches
        for i in range(total_batch):
            batch_x, batch_y = mnist.train.next_batch(batch_size)
            # Run optimization op (backprop) and cost op (to get loss value)
            _, c = sess.run([optimizer, cost], feed_dict={x: batch_x,
                                                          y: batch_y})
            # Compute average loss
            avg_cost += c / total_batch
        # Display logs per epoch step
        if epoch % display_step == 0:
            print("Epoch:", '%04d' % (epoch+1), "cost=", \
                "{:.9f}".format(avg_cost))
    print("Optimization Finished!")

    # Test model
    correct_prediction = tf.equal(tf.argmax(pred, 1), tf.argmax(y, 1))
    # Calculate accuracy
    accuracy = tf.reduce_mean(tf.cast(correct_prediction, "float"))
    print("Accuracy:", accuracy.eval({x: mnist.test.images, y: mnist.test.labels}))

上面代码完全按照了我们之前讲解的神经网络知识去编程。通过编程我们发现,该程序实现更好的方式是将激活函数改为RELU函数,将优化函数改为Adam优化,经过修改后,可以大大减少迭代数,从而提高程序的运行时间。
将修改前和修改后进行对比

修改前程序运行结果:

Extracting /tmp/data/train-images-idx3-ubyte.gz
Extracting /tmp/data/train-labels-idx1-ubyte.gz
Extracting /tmp/data/t10k-images-idx3-ubyte.gz
Extracting /tmp/data/t10k-labels-idx1-ubyte.gz
Epoch: 0001 cost= 2.348613948
Epoch: 0002 cost= 2.283615026
Epoch: 0003 cost= 2.260841895
Epoch: 0004 cost= 2.197613819
Epoch: 0005 cost= 2.097291337
Epoch: 0006 cost= 1.993323185
Epoch: 0007 cost= 1.850071414
Epoch: 0008 cost= 1.685328941
Epoch: 0009 cost= 1.546502026
Epoch: 0010 cost= 1.439334098
Epoch: 0011 cost= 1.349865329
Epoch: 0012 cost= 1.264136526
Epoch: 0013 cost= 1.187894512
Epoch: 0014 cost= 1.126270086
Epoch: 0015 cost= 1.076496551
Epoch: 0016 cost= 1.035493302
Epoch: 0017 cost= 1.001221116
Epoch: 0018 cost= 0.972048594
Epoch: 0019 cost= 0.948528574
Epoch: 0020 cost= 0.928471076
Epoch: 0021 cost= 0.910977629
Epoch: 0022 cost= 0.894381849
Epoch: 0023 cost= 0.879356768
Epoch: 0024 cost= 0.864971666
Epoch: 0025 cost= 0.852064942
Epoch: 0026 cost= 0.840678087
Epoch: 0027 cost= 0.828261544
Epoch: 0028 cost= 0.817391507
Epoch: 0029 cost= 0.807450493
Epoch: 0030 cost= 0.796776299
Epoch: 0031 cost= 0.786734011
......
(由于程序在我机子上运行太慢,所以没有等完全运行完,但可以看出迭代了30多次了)

修改后,

Extracting /tmp/data/train-images-idx3-ubyte.gz
Extracting /tmp/data/train-labels-idx1-ubyte.gz
Extracting /tmp/data/t10k-images-idx3-ubyte.gz
Extracting /tmp/data/t10k-labels-idx1-ubyte.gz
Epoch: 0001 cost= 176.073946022
Epoch: 0002 cost= 43.179293895
Epoch: 0003 cost= 27.394992440
Epoch: 0004 cost= 19.303700176
Epoch: 0005 cost= 14.132923727
Epoch: 0006 cost= 10.467257597
Epoch: 0007 cost= 7.971168485
Epoch: 0008 cost= 5.961594474
Epoch: 0009 cost= 4.604898651
Epoch: 0010 cost= 3.449496238
Epoch: 0011 cost= 2.749364777
Epoch: 0012 cost= 2.135642256
Epoch: 0013 cost= 1.607573424
Epoch: 0014 cost= 1.344761463
Epoch: 0015 cost= 0.958701863
Optimization Finished!
Accuracy: 0.947
(修改后,只需要迭代15次,就能得到不错的测试集准确率,而且运行速度还可以接受。)

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