LeetCode96.不同的二叉搜索树

题目：

给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种？返回满足题意的二叉搜索树的种数。

分析：

设 dp[i] 为由 i 个结点组成且结点值从 1 到 n 互不相同的二叉搜索树的数量。

dp[i] 是由是什么构成呢？

以 dp[3] 为例：

dp[3] = 根结点为 1 的二叉搜索树数量 + 根结点为 2 的二叉搜索树数量 + 根结点为 3 的二叉搜索树数量。

根结点为 1 时，剩下两个数都比 1 大，故都在 1 的右子树上；

根结点为 2 时，1 在 2 的左子树上，3 在 2 的右子树上；

根结点为 3 时，剩下两个数都比 1 小，故都在 1 的左子树上；

所以有：

dp[3] = dp[0]*dp[2] + dp[1]*dp[1] + dp[2]*dp[0]。

dp[1] = 1，dp[2] = 2，由此可见 dp[0] = 1。当树为空时，其实也可以理解为有 1 种二叉搜索树。

综上所述：

dp[i] = dp[0]*dp[i-1] + dp[1]*dp[i-2] + ... +dp[i-2]*dp[0] + dp[i-1]*dp[0]。

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        vector<int> dp(n + 1);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            for (int j = 1; j <= i; ++j) {
                dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];
            }
        }
        return dp[n];
    }
};