(Math Foundation 笔记)1.实数公理和用公理证明1

The definition we will give for the real numbers is what is known as an axiomatic definition.——>Axioms(公理)

以下为的实数的基本性质：

以上的性质中涉及到很多二元运算以及一元运算，所以有必要说一下二元运算的性质和一元运算。

二元运算性质：加封闭和乘封闭

如果 x y a b  都属于实数这个集合 且x==a && y==b 那么则，x+y=a+b&&同时 x+y 和 a+b 也都属于实数这个集合（加封闭）

同理：x*y=a*b同时xy和ab属于实数的集合（乘封闭）

一元运算性质：x—>-x 意为当x属于实数集 -x也属于实数集，如果 x a   都属于实数这个集合 且x=a 那么则 -x=-a

如果x！=0 那么x^-1 也属于实数这个集合

如果x！=0 && a!=0且x=a 那么则x^-1=a^-1

proof structure :证明结构

1，设定一个任意武断的变量（ps：该变量应该符合也属于题目中的set such as Real num(实数)）

2，demonstrate statement regarding to the anxioms

3，conclusion（therefore，statement...）

 命题1.1（proposition 1） for all x belongs to R ,prove0*x=0&&x*0=0——> 零乘以所有的实数都等于零

method 1:

method 2:

0+0=0(相加性质)

(0+0)*x=0*x(二元性质)

0x+0x=0x(乘分配)

（0x+0x）+(-0x)=0x+(-0x)[加相反&&二元性质]

0x+(0x+（-0x)）=0(加交换&&加相反)

0x=0（加相反）

x0=0（乘交换）

therefore，0x=0 and x0=0

therefore, for all x is in the set R,0x=0 and x0=0;

这门课的难点在于仅仅只用仅有的公理来证明式子 还要一步一步的，而且没有太多的窍门或者规律又或规则去遵循。

所以证明这类题 需要不断地尝试 摸索 还需要一点运气和想象力。

要有多练习且浪费草稿纸的心理准备 而这门课所考核的就是从磨练中找出证明这扇门的正确打开方式--

（ps：老师考试时间有限 ，因为这么门课证明需要大量的时间，所以这门课的labs和assigns变得尤为重要因为考试所出的题是有限的）