【CH Round #49 - Streaming #4】比赛题解 & 总结

　　这次day2的比赛感觉难度比day1稍稍大了点（看懂题目和做出题目的难度都大……），语文没学好果然是个问题。看懂了题目之后再看别人提问就觉得无语——题目不是交代了么（虽然不容易看出来）？

　　题目：传送门【 http://contesthunter.org/contest/CH%20Round%20%2349%20-%20Streaming%20%234%20(NOIP%E6%A8%A1%E6%8B%9F%E8%B5%9BDay2)】

 

　　T1：二叉树的根

　　题目大意：给出一个无根树，就是一个有N个点、N-1条边的连通图（N<=100000），问你有哪些点可以作为一棵二叉树的根。

　　首先如果树上存在度数大于3的点，就没有任何一个点符合条件（选哪个点作根，度数大于3的点都会至少有3个儿子）。其次度数为3的点不能作为树根（选它为树根则它有3个儿子，样例的提示很明显），因此度数为1或2的点就可以作为树根。时间复杂度O(N)。

 

var
    a:array[1..100000] of longint;
    n,i,c,x,y:longint;
begin
    assign(input,'root.in');reset(input);
    assign(output,'root.out');rewrite(output);
    readln(n);
    c:=n;
    for i:=1 to n-1 do begin
        readln(x,y);
        inc(a[x]);
        inc(a[y]);
        if (a[x]>3) or (a[y]>3) then begin
            writeln(0);
            close(input);close(output);
            halt;
        end;
        if a[x]=3 then dec(c);
        if a[y]=3 then dec(c);
    end;
    writeln(c);
    for i:=1 to n do if a[i]<3 then write(i,' ');
    writeln;
    close(input);close(output);
end.

　　T2：距离统计

　　题目大意：给出一个N×M的点阵（N、M<=10^9），两两顶点间构成一条线段，问长度为L的线段有多少条（L为整数且保证有解），一共询问T次（T<=1000）。

　　很明显横向和纵向的线段是可以直接计算出来的，非常简单。但是斜线的话……

　　这道题比较DT的原因是要解a^2+b^2=L^2，其中a、b为整数，L为已知数。怎么解？朴素的方法是枚举a或b，时间复杂度O(TN）。有什么更好的方法吗？

　　通过对公式x^2+y^2=z^2（其中gcd(x,y,z)=1）的整理可知，z-y必定为完全平方数或完全平方数的2倍（由于其证明过于高大上，请自行看比赛解题报告中的证明）。因此首先从所有L的约数中枚举gcd(a,b,L)，设为p。令z=L/p，此时只要枚举一个数i，那么i^2或者2i^2就有可能是z-y的值，由此推出y与x。最后判断gcd(x,y,z)是否为1即可，如果是，则a=x*p，b=y*p（显然）。

 

const
    maxp=50000;
var
    a:array[0..30000] of longint;
    f:array[2..maxp] of boolean;
    c:array[1..30000,1..2] of longint;
    n,m,l,ans:int64;
    t,i,j,nc:longint;
procedure add(x,y:int64);
    begin
        if (x
 
  0) do begin
            if a[i]*a[i]>l then break;
            while l mod a[i]=0 do begin
                inc(nc);
                c[nc,1]:=a[i];
                c[nc,2]:=0;
                while l mod a[i]=0 do begin
                    inc(c[nc,2]);
                    l:=l div a[i];
                end;
            end;
            inc(i);
        end;
        if l>1 then begin inc(nc); c[nc,1]:=l; c[nc,2]:=1; end;
    end;
function gcd(a,b:int64):int64; begin if b=0 then exit(a) else exit(gcd(b,a mod b)); end;
procedure check(x:int64);
    var
        i:longint;
        a,b,p:int64;
    begin
        for i:=1 to x do begin
            b:=x-i*i;
            if b<=0 then break;
            p:=x*x-b*b;
            a:=trunc(sqrt(p));
            if a>=b then break;
            if (a*a=p) and (gcd(x,gcd(a,b))=1) then add(a*(l div x),b*(l div x));
        end;
        for i:=1 to x do begin
            b:=x-i*i*2;
            if b<=0 then break;
            p:=x*x-b*b;
            a:=trunc(sqrt(p));
            if a>=b then break;
            if (a*a=p) and (gcd(x,gcd(a,b))=1) then add(a*(l div x),b*(l div x));
        end;
    end;
procedure dg(v:longint;l:int64);
    var
        i:longint;
    begin
        if v>nc then check(l)
        else
            for i:=0 to c[v,2] do begin
                dg(v+1,l);
                l:=l div c[v,1];
            end;
    end;
begin
    for i:=2 to maxp do begin
        if not f[i] then begin inc(a[0]); a[a[0]]:=i; end;
        for j:=1 to a[0] do begin
            if i*a[j]>maxp then break;
            f[i*a[j]]:=true;
            if i mod a[j]=0 then break;
        end;
    end;
    assign(input,'dist.in');reset(input);
    assign(output,'dist.out');rewrite(output);
    readln(n,m,t);
    for t:=1 to t do begin
        read(l);
        ans:=0;
        if l
  
     


     




     
　　总结：这次比赛中我拿下T1，T2和T3只有20分，一共140分。如上所说，我在理解题目（特别是T3）的时候出现了一些困难，以为T3可能存在混联电路，还打算恶补物理（……）。幸好最后看清题目，知道怎么下手。这次比赛主要存在的问题是数学知识的缺失。T2就是一个典型的例子。我还以为所有的勾股数都可以通过一些自己总结的公式算出来（一些派生勾股数就不行），如果T2老老实实枚举a或b，就可以多拿40分……而T3纯粹是因为程序打错，比赛结束之后我改了两句就AC了，可见检查不够周到。不过庆幸的是读懂了题，没有被文字卡住。可惜比赛时大部分时间都用作推理和实现程序，并没有对拍，这点一定要加倍注意。