CH Round #49 - Streaming #4 (NOIP模拟赛Day2)（总结）

一、二叉树的根

什么叫二叉树？这个应该是每个人都知道的。在本题中，我们的二叉树是有根的：对于每个节点，它至多有左右两个子节点（可以为空），并且每个子树也都是二叉树。

如果无视有根二叉树中的父子关系，那么它就变成了无根树。现在我们给出任意的无根树，想让你找到这样的节点：存在某个有根二叉树的根为这个节点，且无视有根二叉树中的父子关系后，所变成的无根树恰好为给出的无根树。

由于有可能无解，也有可能有很多解，你需要对这些情况作出判断。

依题目所说，要构成二叉树，一个点连出去的边最多为3条（两个后继，一个祖先），据此可判断无解情况；而什么时候一个节点能作根呢？我们知道一个二叉树的根最多有2个后继，因而有3条连边的不可作根，其余可以。那么就可以记录每个节点的连边数，按上述分析来统计。

二、距离统计

现在有一个n×m的点阵，以这些点为顶点可以组成很多条线段。

有T次询问，每次询问给出l，求这些线段中长度为l的个数。

这题显而易见的是，当知道线段长，在纵向与横向上，我们可以用乘法原理来求解（n-l*m+m-l*n），关键在于若该长度为勾股数，那么他可以斜着安置，如图：

（3*3+4*4=5*5 长度为5时）

暴力的话可用o（根号l）枚举，但l<=1000000000000000000，(n*m)，故超时。

此处转载题解：

注意：经研究发现，由于z-y为完全平方数,z-x为完全平方数2倍（y与x可互换）同时存在的（看题解最后一点证明），因而只枚举一个即可，然后得出该斜向线段覆盖的矩阵长宽，就可用（(n-a)*(m-b)+(n-b)*(m-a)）求解，还需判断该点阵能否容纳(⊙o⊙)哦。见程序：

01	#include<iostream>

 

02	#include<cstdio>

 

03	#include<algorithm>

 

04	#include<cmath>

 

05	using namespace std;

 

06	int t,x,y,x1;

 

07	long long ans,n,m,a,b;

 

08	long long fan(int x){

 

09	long long y=x;

 

10	return(y*y);

 

11

}

 

12	void did(long long x,long long y){

 

13	if ((n>x)&&(m>y))ans+=(n-x)*(m-y)*2;

 

14

return;

 

15

}

 

16	int gcd(int x,int y){

 

17	if (x==0)return(y);

 

18	return(gcd(y%x,x));

 

19

}

 

20	void work(int x,int bz){

 

21	static long long fa;

 

22	static int a;

 

23	static int b;

 

24	fa=fan(x);

 

25	for (int i=1;i<=sqrt(x);i++)

 

26	if (fan(i)!=x){

 

27	a=x-fan(i);

 

28	b=sqrt(fan(x)-fan(a));

 

29	if (fan(a)+fan(b)==fa)

 

30	if ((gcd(a,b)==1)&&(gcd(a,x)==1)&&(gcd(b,x)==1))did(a*bz,b*bz);

 

31	a=x-fan(i)*2;

 

32

if (a>0){

 

33	b=sqrt(fan(x)-fan(a));

 

34	if (fan(a)+fan(b)==fa)

 

35	if ((gcd(a,b)==1)&&(gcd(a,x)==1)&&(gcd(b,x)==1))did(a*bz,b*bz);

 

36

}

 

37

}

 

38

}

 

39	int main(){

 

40	scanf("%d%d%d",&n,&m,&t);

 

41	for (int i=1;i<=t;i++){

 

42	scanf("%d",&x);

 

43

ans=0;

 

44	if (i==114){

 

45

ans=0;

 

46

}

 

47	if (n>=x)ans+=(n-x)*m;

 

48	if (m>=x)ans+=(m-x)*n;

 

49	for (int j=1;j<=sqrt(x);j++)

 

50	if (x%j==0){

 

51

x1=x/j;

 

52	work(x1,j);

 

53	if (x1!=j){

 

54

x1=j;

 

55	work(x1,x/j);

 

56

}

 

57

}

 

58	printf("%lld ",ans);

 

59

}

 

60

return 0;

 

61

}

 

三、电阻网络

什么是电阻？这个大家应该都知道。什么是电路？大家也应该知道。但是本题当中，电路的定义或许有点不同：

电路都带有正、负极接点，正极在左，负极在右。具体地：电路分为以下几类：

单独的一个1Ω电阻（及其两端的接点）是电路。（虽然导线也可以被视为0Ω的电阻，但是单独的导线不是电路）

如果A和B都是电路，设1,2,3是从左到右的三个接点，那么将A的正负极分别接在1与2上，将B的正负极分别接在2与3上，那么1到3的部分是电路，其中1为正极，3为负极。

如果A和B都是电路，设1,2,3,2',3',1'是六个接点，其中1在2和3的左侧，2在2'的左侧，3在3'的左侧，2'和3'在1'的左侧，并且1与2，1与3，2'与1'，3'与1'间均连有导线，那么将A的正负极分别接在2与2'上，将B的正负极分别接在3与3'上，那么1到1'的部分是电路，其中1为正极，1'为负极。

现在给出一个电路，求它正负极之间的电阻。

理解了电路后，我们可将连接形式分为并联、串联和混联（串+并），而串联电路电阻为：R总＝U总/I总＝R1+R2+R3+……，并联电阻为1/R总＝1/R1+1/R2+1/R3+…

对于串联电路，我们要求出每个用电器（电阻）的电阻，而其中出现了并联，则将整个并联看做一个电阻，优先处理并联电路的电阻才能处理串联的；对于并联电路，我们要求出每个支路的电阻，而其中出现并联，由于是R总＝U总/I总＝R1+R2+R3+……，可以直接加过去，而遇到并联电路，则将整个并联看做一个电阻，优先处理并联电路的电阻才能处理外接的并联的。

       由此，我们可以发现，当我们遇到串联时，可直接加过去，而并联时，要优先处理，形成一个优先级别，可以用栈进行处理，这样就可以的出解法：

       遇到串联时，直接加过去，遇到并联起点，新开一个栈，遇到并联终点时，将各支路电阻倒数求和再倒数，由于具有传递性和单向性，我们可以将电阻值储存在接点上，一个个点转移，见程序：

01	#include<cstdio>

 

02	#include<algorithm>

 

03	#include<iostream>

 

04	#include<iomanip>

 

05	using namespace std;

 

06	int n,m,l,r,sum;

 

07	double a[100001],h[100001];

 

08

double q;

 

09	int e[500001][3],g[100001],b[100001],c[100001],d[100001],f[100001];

 

10	void in(int x,int y,int z){

 

11	e[++sum][0]=y;

 

12	e[sum][1]=z;

 

13	e[sum][2]=g[x];

 

14

g[x]=sum;

 

15

}

 

16	void work(){

 

17

int x;

 

18	if (c[d[r]]>1)h[++sum]=a[d[r]];

 

19	while (!((g[d[1]]==0)&&(r==1))){

 

20	if (g[d[r]]!=0){

 

21	x=g[d[r]];

 

22	if (b[e[x][0]]>1){

 

23	q=a[d[r]]+e[x][1];

 

24

if (q!=0)

 

25	a[e[x][0]]+=1/q;

 

26	}else {if (e[x][1]==1)a[e[x][0]]++;

 

27	a[e[x][0]]+=a[d[r]];}

 

28	g[d[r]]=e[x][2];

 

29	d[++r]=e[x][0];

 

30	f[d[r]]++;

 

31	if (f[d[r]]==b[d[r]]){

 

32	if ((b[d[r]]==f[d[r]])&&(b[d[r]]>1)){

 

33	if (a[d[r]]!=0)a[d[r]]=1/a[d[r]]+h[sum];else a[d[r]]=h[sum];

 

34

sum--;

 

35

}

 

36	if (c[d[r]]>1){h[++sum]=a[d[r]];a[d[r]]=0;}

 

37	}else r--;

 

38	}else r--;

 

39

}

 

40

}

 

41	int main(){

 

42	scanf("%d %d",&n,&m);

 

43	int x,y,z;

 

44	for (int i=1;i<=m;i++){

 

45	scanf("%d %d %d",&x,&y,&z);

 

46	in(x,y,z);

 

47	b[y]++;c[x]++;

 

48

}

 

49

sum=0;

 

50	for (int i=1;i<=n;i++)

 

51	if (b[i]==0){

 

52

r++;

 

53

d[r]=i;

 

54

break;

 

55

}

 

56

work();

 

57	printf("%.3f",a[n]);

 

58

return 0;

 

59

}