QR分解笔记

QR分解是一种将一个矩阵分解为正交矩阵和上三角矩阵的方法。QR分解可以应用于求解线性方程组、最小二乘问题、特征值和特征向量等问题。

具体来说，设矩阵A为m×n的矩阵，其中m≥n。则存在一个m×n的正交矩阵Q和一个n×n的上三角矩阵R，使得A=QR。其中，正交矩阵Q的列向量是标准正交基，即满足q_iq_j=0(i≠j)和q_iq_i=1的向量，上三角矩阵R的对角线元素为正，非对角线元素为0或负数。

QR分解可以通过Gram-Schmidt正交化方法、Householder变换、Givens旋转等多种方法实现。在实际应用中，QR分解常用于求解最小二乘问题，即求解形如Ax=b的超定方程组，其中A为m×n的矩阵，m>n，b为m维向量。通过QR分解，可以将最小二乘问题转化为求解形如Rx=Q^{Tb的n元线性方程组，其中Q}T为Q的转置矩阵。这个线性方程组可以通过回带法等方法求解。