leetcode 464. 我能赢吗

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原创最新推荐文章于 2026-05-18 09:43:40 发布 620 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

leetcode464. 我能赢吗传送门题目：在 “100 game” 这个游戏中，两名玩家轮流选择从 1 到 10 的任意整数，累计整数和，先使得累计整数和达到 100 的玩家，即为胜者。如果我们将游戏规则改为 “玩家不能重复使用整数” 呢？例如，两个玩家可以轮流从公共整数池中抽取从 1 到 15 的整数（不放回），直到累计整数和 >= 100。给定一个整数 maxChoosableInteger （整数池中可选择的最大数）和另一个整数 desiredTotal（累计和），判断先出手的玩家是否能稳赢（假设两位玩家游戏时都表现阅读详情

464. 我能赢吗

题目：
在 “100 game” 这个游戏中，两名玩家轮流选择从 1 到 10 的任意整数，累计整数和，先使得累计整数和达到 100 的玩家，即为胜者。

如果我们将游戏规则改为 “玩家不能重复使用整数” 呢？

例如，两个玩家可以轮流从公共整数池中抽取从 1 到 15 的整数（不放回），直到累计整数和 >= 100。

给定一个整数 maxChoosableInteger （整数池中可选择的最大数）和另一个整数 desiredTotal（累计和），判断先出手的玩家是否能稳赢（假设两位玩家游戏时都表现最佳）？

你可以假设 maxChoosableInteger 不会大于 20， desiredTotal 不会大于 300。

示例：

输入：
maxChoosableInteger = 10
desiredTotal = 11
输出：
false

解释：

无论第一个玩家选择哪个整数，他都会失败。
第一个玩家可以选择从 1 到 10 的整数。如果第一个玩家选择 1，那么第二个玩家只能选择从 2 到 10 的整数。
第二个玩家可以通过选择整数 10（那么累积和为 11 >= desiredTotal），从而取得胜利.。
同样地，第一个玩家选择任意其他整数，第二个玩家都会赢。

题目来源：力扣（LeetCode）
https://leetcode-cn.com/problems/can-i-win

解题思路：

这里主要去理解大佬的代码，自己去总结了一下。
https://leetcode-cn.com/problems/can-i-win/solution/hui-su-zhuang-ya-dp-by-8bun

A稳赢表示A选了一个数后，无论B选剩下的哪个数，A都能在最后一步选了某个数后赢了。比如：{1，2，3}三个数，目标和为6，A 首先在三个数中任选一个数，如3，接着B从剩下的数中随便怎么选，都不能使累加和达到6，最后A再在剩下的数中选取某个数后累加达到6以上，那么A就是稳赢的。

对于上述两个或三个数好理解，但对于少于或等于20个数，如何理解使A在最后一步选取某个数累加到达目标值。

再对上一个例字进行解释：在选用两个数时，比如A选1，B选2；或者A选2，B选1这两个子问题。可以看到此时都不能达到目标值，也就是此时A和B对1、2选择的先后顺序都不能达到目标值，那么在未达到目标值之前，我们可以不考虑A和B各自先后选择了哪些数，只考虑A和B一起选择了哪些数，还剩下哪些数及剩余目标值。也就是我们可以不去管或去掉已选择的1、2两个数，而是将问题转为{3}一个数，目标和为3的子问题，这样原问题就变成一个新的子问题了。

针对上述分析，递归解决问题会出现重复计算，而我们又不关心数字是被谁选用，也不关心出现的先后顺序，只关心数字的组合，所以把每一种组合状态保存，下次遇到相同的状态查表即可。

按照上述思路来分析：首先定义一个数组，这个数组中的每一位表示 desiredTotal 整数集合中某个数是否被选取。每个数只有被选取和没有被选取这两种情况，所以定义一个二进制位数组。题目给出最大数不超过20，那么就定义一个 Boolean[] dp = new Boolean[(1<<maxChoosableInteger)-1];就是将1向左移动maxChoosableInteger位，转化为十进制后再减1。如移动2位，则对应的十进制为2²-1=3，也就是该数组有2²个元素。为什么要定义这么多个数组元素，可以想一下，整数集合中每个元素可以选取与不选，有多少个整数，就有2^{maxChoosableInteger} 种可能的组合情况。

到现在，dp这个数组的作用还没有解释清楚，上面只是说整数集合中整数的个数来定义一个多大的数组，那如何能表示整数集合中所有组合的情况。我们这样相，1对应的二进位第0位，2对应二进制第1位，3对应二进制第2位，……，其次，将二进制转化为十进制数，该数对应二进制位上整数的和，如二进制110对应的十进制为6，二进制位对应的整数为321，这三个整数和也为6。到这里，可以想到dp[]数组如何表示整数集合中整数元素被选取的情况，即用dp数组索引表示所选整数的累加和减1，而这个累加和又能体现整数元素选取的情况。dp数组的索引对应整数累加和状态，该整数累加和状态对应组合状态；dp数组元素的值表示整数组合状态对应的结果，为true表示该组合状态已存在并且能赢，直接返回；为false表示该组合状态已存在并且输了，直接返回；为空表示还没出现这种整数组合状态，是一个新状态，需要进行递归计算。（注意：这里定义Boolean包装类类型，而不是基本数据类型，所以每个元素为一个引用类型，初始为 null）。

代码：

public boolean canIWin(int maxChoosableInteger, int desiredTotal) {
    // 如果整数集合中的最大数大于或等于目标和，则先出手玩家直接可以赢，返回true。
    if (maxChoosableInteger>=desiredTotal){
        return true;
    }
    // 若整数集合中所有元素和小于目标和，则平局，返回false。
    if ((1+maxChoosableInteger)*maxChoosableInteger/2 < desiredTotal) {
        return false;
    }
    // 考虑每个数字只有两种情况，所以可以使用状态压缩DP，即使用bit位来表示选中状态。
    // 定义状态数组dp[]，索引值表示组合状态，可以体现哪些整数被选取；
    // dp[]数组中元素的值有三种情况：
    //          1、为null，当前整数组合状态还没出现过，需要计算访问。
    //          2、为true，当前整数组合状态已经出现过，直接查找返回true。
    //          3、为false，当前整数组合状态已经出现过，直接查找返回false。
    Boolean[] dp = new Boolean[(1<<maxChoosableInteger)-1];
    return recursion(maxChoosableInteger, desiredTotal,dp,0);
}
// 整数集合中最大值不大于20，所有整数和也不会超过int类型，所以用一个int整数类型表示状态。
public boolean recursion(int maxChoosableInteger, int desiredTotal,Boolean[] dp,int state){
    // 该整数组合状态已存在，直接返回。
    if(dp[state] != null){
        return dp[state];
    }
    // 遍历每一个数，得到所用整数组合情况。
    for (int i = 1; i <= maxChoosableInteger; i++) {
        // 用二进制进行计算，temp表示整数i对应的二进制位所对应的十进制值
        int temp = (1<<i-1);
        // 与整数状态进行二进制与运算，判断该整数i对应的二进制位与已有的整数状态中对应的二进制位进行与操作。
        // 已有状态中二进制位为1，说明已访问了该位。
        if ((temp & state)==0){  // 说明第i个数还没有使用
            // 那么选用这个数是否大于剩余目标值，是的话就返回true，
            // 或者当这个数选中之后还没达到目标值，但是可以断定下一状态返回的是false，那么也返回true。
            if (desiredTotal - i<=0 || !recursion(maxChoosableInteger, desiredTotal-i,dp,state|temp)){
                dp[state] = true;   // 记录当前组合状态的结果
                return true;
            }
        }
    }
    dp[state] = false;
    return false;
}