C语言最大公约数和最小公倍数的一种求解方法（辗转相除法/欧几里得算法）——MZH

最大公约数

模板代码展示

欧几里得算法（也称辗转相除法）是一种用于计算两个非负整数的最大公约数（GCD, Greatest Common Divisor）的有效方法。以下是一个用C语言实现的欧几里得算法模板代码：

#include <stdio.h>

// 函数声明
int gcd(int a, int b);

int main() {
    int num1, num2, result;

    // 输入两个整数
    printf("请输入两个整数：\n");
    scanf("%d %d", &num1, &num2);

    // 计算最大公约数
    result = gcd(num1, num2);

    // 输出结果
    printf("%d 和 %d 的最大公约数是 %d\n", num1, num2, result);

    return 0;
}

// 欧几里得算法实现
int gcd(int a, int b) {
    while (b != 0) {
        int temp = b;
        b = a % b;
        a = temp;
    }
    return a;
}

具体函数部分：

int gcd(int a, int b) {
    while (b != 0) {
        int temp = b;
        b = a % b;
        a = temp;
    }
    return a;
}

原理部分：

欧几里得算法，也称为辗转相除法，其原理基于整除性和余数的性质来计算两个非负整数的最大公约数（GCD）。

原理基础

1. 整除性：如果整数a能被整数b整除，则存在一个整数q，使得a = bq。

2. 余数的性质：对于任意两个非负整数a和b（b ≠ 0），存在唯一的整数q和r，使得a = bq + r，其中0 ≤ r < b。这里的r是a除以b的余数。

3. 最大公约数的性质：如果d是a和b的公约数，那么d也是b和a % b（即a除以b的余数）的公约数。反之亦然。

算法步骤与原理

欧几里得算法通过以下步骤来计算a和b的最大公约数：

1. 初始化：给定两个非负整数a和b（假设a ≥ b，如果不是，可以交换它们的值）。

2. 迭代计算：

   • 计算a除以b的余数r，即r = a % b。

   • 如果r等于0，则b是a和b的最大公约数，算法结束。

   • 否则，将b和r视为新的一对整数，重复步骤2。

3. 终止条件：当余数为0时，算法终止，此时的除数（即上一轮的b）就是所求的最大公约数。

原理解释

• 为什么余数为0时除数是最大公约数？（个人理解不断处理多余微小量）

  • 根据余数的性质，我们知道a = bq + r。如果r = 0，则a = bq，意味着b能整除a。

  • 由于d是a和b的公约数，那么d能整除a和b。由于a = bq，d也能整除bq，因此d能整除b（因为q是整数，不影响整除性）。

  • 所以，d是b的约数。由于d也是a的约数，并且b能整除a，那么d的最大可能值就是b（因为b已经是a和b中较小的那个数，且能整除a）。

  • 因此，当余数为0时，b就是a和b的最大公约数。

• 为什么算法有效？

  • 算法的有效性基于上述整除性和余数的性质，这些性质是数学上的基本定理，因此算法是可靠的。

  • 通过不断减小问题的规模（即不断用较小的数和余数进行替换），算法最终能够在有限步内找到最大公约数。

最小公倍数

计算方式：两数相乘除以最大公约数