矩阵、向量组与线性方程专题

线性代数专题

1、什么是矩阵的行满秩和列满秩，和矩阵的秩之间的关系是什么？

​ 在线性代数中，矩阵的行满秩和列满秩是两个重要的概念。一个n $\times $ m 的矩阵A，

​ 若其行向量线性无关，则称A为行满秩；

​ 若其列向量线性无关，则称A为列满秩。

​ 而矩阵的秩代表的是其行向量或列向量组成的空间的维数。矩阵的秩即为其行秩和列秩中的较小值。

2、矩阵的秩的最大值取决于行秩和列秩中较小的那一个

思路1：

​ 在线性代数中，矩阵A的秩是由其行向量或列向量所张成空间的维度决定的。也就是说，如果矩阵A中的某些行向量或列向量可以用其他行向量或列向量的线性组合表示出来，那么这些行向量或列向量对于确定空间的维度是没有帮助的，因此对于计算矩阵A的秩没有贡献。这样一来，我们只需要选择出任意一组最大的线性无关的行向量或列向量就能够得到矩阵A的秩。

​ 因此，我们只要选择行秩和列秩中较小的那一个就可以表示该矩阵。

​ 这也说明了另外一个问题，即为什么矩阵的秩与其转置矩阵的秩相同。

​ 矩阵A与其转置矩阵A^T在行空间和列空间上具有相同的维度，因此它们的秩也相等。这就解释了为什么矩阵A与其转置矩阵A^T具有相同的秩。

思路2：实例

$$\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 5\\ 3& 5\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(1)}$$

$$\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(2)}$$

$$\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\\ 0& 0\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(3)}$$

​ 矩阵（1），化简成行阶梯型矩阵如（3）所示，此时可以看出该矩阵的秩为2。而实际上，等于其列向量的秩2，小于其行向量的秩3。

3、矩阵的秩与其逆矩阵的秩的关系

矩阵的秩和其逆矩阵的秩之间有着重要的联系。具体地说：

1. 对于一个 n $\times$ n 的矩阵 A，若其可逆，则其满秩，秩为n。
2. 对于一个 n $\times$ n 的矩阵 A，若矩阵A秩为n，即满秩，则其一定可逆，并且逆矩阵A^-1也是满秩的。

4、| A | ≠ 0和矩阵可逆是充要条件

​ 若一个n阶方阵A行列式不等于0，那么A一定是可逆矩阵。因为如果行列式不等于0，那么A一定存在逆矩阵，这可以用伴随矩阵求逆矩阵来证明。
$$A^{-}=\frac{A^{\ast }}{|A|}$$