NOIP2013 火柴排队

火柴排队 2013年NOIP全国联赛提高组
时间限制: 1 s
空间限制: 128000 KB
题目等级 : 钻石 Diamond
题解
题目描述 Description
涵涵有两盒火柴，每盒装有 n 根火柴，每根火柴都有一个高度。现在将每盒中的火柴各自排成一列，同一列火柴的高度互不相同，两列火柴之间的距离定义为：
，其中 ai表示第一列火柴中第 i 个火柴的高度，bi表示第二列火柴中第 i 个火柴的高度。
每列火柴中相邻两根火柴的位置都可以交换，请你通过交换使得两列火柴之间的距离最小。请问得到这个最小的距离，最少需要交换多少次？如果这个数字太大，请输出这个最小交换次数对 99,999,997 取模的结果。

输入描述 Input Description
共三行，第一行包含一个整数 n，表示每盒中火柴的数目。
第二行有 n 个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，表示第一列火柴的高度。
第三行有 n 个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，表示第二列火柴的高度。

输出描述 Output Description
输出共一行，包含一个整数，表示最少交换次数对 99,999,997 取模的结果。

样例输入 Sample Input
[Sample 1]
4
2 3 1 4
3 2 1 4
[Sample 2]
4
1 3 4 2
1 7 2 4

样例输出 Sample Output
[Sample 1]
1
[Sample 2]
2

数据范围及提示 Data Size & Hint
【样例1说明】
最小距离是 0，最少需要交换 1 次，比如：交换第 1 列的前 2 根火柴或者交换第 2 列的前 2 根火柴。
【样例2说明】
最小距离是 10，最少需要交换 2 次，比如：交换第 1 列的中间 2 根火柴的位置，再交换第 2 列中后 2 根火柴的位置。
【数据范围】
对于 10%的数据， 1 ≤ n ≤ 10；
对于 30%的数据，1 ≤ n ≤ 100；
对于 60%的数据，1 ≤ n ≤ 1,000；
对于 100%的数据，1 ≤ n ≤ 100,000，0 ≤火柴高度≤ 2^31 - 1。

PS:上面的两列火柴之间的距离没显示出来，是Σ（ai-bi）^2（i:1~n）

思路
这道题属于正解比较难想的一类，不过在做这类题的时候要紧扣题目，仔细分析题目所给的条件，说不定就能发现端倪。
废话不多说，首先根据题目意思，Σ（ai-bi）^2=Σ（ai^2+bi^2）-2Σai*bi,其中，
Σ（ai^2+bi^2）为定值，要让距离最小，必要使Σai*bi最大。这里需要用排序不等式，简而言之，就是两个长度相同的有序序列a,b，有a1*b1+a2*b2+……+an*bn能使Σai*bi最大，恩恩。然后先做一遍排序，使两个序列有序，然后由每个火柴原来的位置来反推交换步数，实际上就是个求逆序对的过程
PS:如果暴力的话则不必想太多，不过这里写的是正解代码QAQ。另外排序不等式貌似是数学奥赛的东西？？？

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=100000+5;
struct node{
    int num,pos;
}a[maxn],b[maxn];
const int mod=99999997;
bool cmp(node x,node y)
{
    return x.num<y.num;
}
int A[maxn],T[maxn];
int ans=0;
void merge(int l,int mid,int r)
{
    int i=l,j=mid+1,k=l-1;
    while(i<=mid&&j<=r)
    {
        if(A[i]>A[j])
        {
            ans+=mid-i+1;
            ans%=mod;
            T[++k]=A[j],j++;
        }
        else T[++k]=A[i],i++;
    }
    while(i<=mid) T[++k]=A[i],i++;
    while(j<=r) T[++k]=A[j],j++;
    for(int p=l;p<=r;p++) A[p]=T[p];
}
void mesort(int l,int r)
{
    if(l==r) return;
    int mid=(l+r)>>1;
    mesort(l,mid);
    mesort(mid+1,r);
    merge(l,mid,r);
}
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&a[i].num);
        a[i].pos=i;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&b[i].num);
        b[i].pos=i;
    }
    sort(a+1,a+1+n,cmp);
    sort(b+1,b+1+n,cmp);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        A[a[i].pos]=b[i].pos;
    }
    mesort(1,n);
    printf("%d\n",ans%mod);
    return 0;
}