bzoj 2693 jzptab 莫比乌斯反演

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莫比乌斯反演

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本文介绍了一种利用积性函数性质解决数论问题的算法实现，通过预处理技术加速了对特定范围内整数的积性函数求和运算。

首先，积性函数的约数和也是积性函数。
然后，比较尴尬的是我不太会用数学公式。

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<iostream>
#define LL long long
#define maxn 10000005
using namespace std;
LL mod=100000009;
LL sum(LL x,LL y)
{
	x=(x*(x+1)/2)%mod;
	y=(y*(y+1)/2)%mod;
	return x*y%mod;
}
LL h[maxn];
int mu[maxn];
bool use[maxn];
int prime[maxn],cnt;
void get_mu()
{
	mu[1]=1;h[1]=1;
	int N=10000000;
	for(int i=2;i<=N;i++)
	{
		if(!use[i])
		{
			prime[++cnt]=i;mu[i]=-1;
			h[i]=i-(LL)i*i;
			h[i]%=mod;
		}
		for(int j=1;j<=cnt;j++)
		{
			if((LL)i*prime[j]>(LL)N) break;
			use[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j]==0)
			{
				h[i*prime[j]]=(h[i]*prime[j])%mod; 
				mu[i*prime[j]]=0;
				break;
			}
			h[i*prime[j]]=(h[i]*h[prime[j]])%mod;
			mu[i*prime[j]]=-mu[i];
		}
	}
	for(int i=1;i<=N;i++)
	{
		h[i]+=h[i-1];
		h[i]%=mod;
	}
}
int main()
{
	LL n,m;
	get_mu();
	int T;scanf("%d",&T);
	while(T--) 
	{
		scanf("%lld%lld",&n,&m);
		if(n>m) swap(n,m);
		LL l=1,r,ans=0;
		while(l<=n)
		{
			int p1=n/l,p2=m/l;
			r=min(n/p1,m/p2);
			ans+=(sum(n/l,m/l)*(h[r]-h[l-1]+mod))%mod;
			ans%=mod;l=r+1;
		}
		if(ans<0) ans+=mod;
		ans%=mod;
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}