银行从业资格证 个人理财 各种年金计算公式总结

变量说明：

• $C$ ：每期投入的现金流
• $r$：利率（收益率/贴现率）
• $n$ ：计息期数；
• $FV$：终值
• $PV$：现值

推导计算过程用到等比数列求和公式 $S_n=a_1\ast \frac{1-q^n}{1-q}$

年金分类

1. 期初与期末的现值与终值（每期投入现金 $C$ 不变）

   1. 期末年金/普通年金/后付年金

      1. （期末）年金现值

      $$PV=\sum _{i=1}^n\frac{C}{(1+r{)}^i}=C\ast \frac{1-(1+r{)}^{-n}}{r}$$

      $$\frac{1-(1+r{)}^{-n}}{r}代表年金现值系数$$

   

   （图片现值对应起点是0，由于是期末所以端点是1到n，看从端点到起点的距离）

   2. （期末）年金终值

   $$FV=\sum _{i=0}^{n-1}C\ast (1+r{)}^i=C\ast \frac{(1+r{)}^n-1}{r}$$

   $$\frac{(1+r{)}^n-1}{r}代表年金终值系数$$

   

   （图片终值对应终点是n，由于是期末所以端点是1到n，看从端点到终点的距离）

   2. 期初年金/预付年金/先付年金

      ​ 期初年金现值 = 期末年金现值 * (1+r)

      ​ 期初年金终值 = 期末年金终值 * (1+r)

      ​ 即：期初是期末的 1+r 倍，所以只需要求期末即可。

2. 永续年金

   1. 有现值，没终值，其实就是n趋近于无穷
      1. （期末）永续年金现值：PV = C / r （n趋近于无穷，现值有极限，终值没有极限）

3. 增长型年金（每期投入现金 $C$ 的固定增长率为 $g$）

   1. 普通增长型年金

      1. （期末）年金现值

         1. 当r ≠ g时

         $$PV=\sum _{i=1}^n\frac{C\ast (1+g{)}^{i-1}}{(1+r{)}^i}=C\ast \frac{1-(\frac{1+g}{1+r}{)}^n}{r-g}$$

         2. 当r = g时
            $$PV=\sum _{i=1}^n\frac{C\ast (1+g{)}^{i-1}}{(1+r{)}^i}=C\ast \frac{n}{1+r}$$

      2. （期末）年金终值

         1. 当r ≠ g时

         $$FV=\sum _{i=0}^{n-1}\frac{C\ast (1+g{)}^i}{(1+r{)}^{n-1-i}}=C\ast (1+r{)}^n\ast \frac{1-(\frac{1+g}{1+r}{)}^n}{r-g}$$

         2. 当r = g时
            $$FV=\sum _{i=0}^{n-1}\frac{C\ast (1+g{)}^i}{(1+r{)}^{n-1-i}}=C\ast [n\ast (1+r{)}^{n-1}]$$

   2. 增长型永续年金

      1. （期末）增长型永续年金现值：PV = C / (r - g) （n趋近于无穷求得的极限）