树-入门

树

树

由n个几点组成的有限集合
n=0时称为空树

定义

1. 最顶端的称为根,以r表示
2. 其下的节点及其所统领的集合称为子树
3. 子树应为不相交的集合

树的术语

1. 结点的度_degree 结点子树个数
2. 树的度 树所有结点的最大度
3. 叶结点_leaf 度为0的结点
4. 父结点_parent
5. 子结点_child
6. 兄弟结点_sibling 具有统一父结点的各结点
7. 祖先结点_ancestor 沿树根到某一结点路径上的所有结点都是这个结点的祖先结点
8. 子孙节点_descendant 见上
9. 树的深度_depth 树中所有结点的最大层次

树的表示

数组…链表(结点难以实现,空间浪费)…
儿子兄弟表示法

即使用两个指针域,一个指向儿子,一个指向兄弟

二叉树

即每个树最多有两个儿子
儿子兄弟表示法其实就是准换成二叉树以实现

特殊二叉树


完全二叉树的叶结点可以空缺
存储结构
10. 顺序存储
子结点编号为其父亲的两倍
需要开四倍空间
适用于满二叉树
一般二叉树会造成大量空间浪费
11. 链表存储

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遍历二叉树

层次遍历（广度优先遍历）

一层层从根节点开始向下遍历
使用队列处理
先将根节点压入然后pop出，再将其左右节点入队

深度优先遍历

12. 前序遍历（根左右）
13. 中序遍历（左根右）
14. 后序遍历（左右根）

使用递归思想解决

void print(int tree t)
{
	if(!t)
		break;
	printf("%d",t.data);
	print(t.left);
	print(t.right);
}

这个是前序遍历的思路，而中序遍历，后序遍历只需要修改printf的位置即可

使用非递归思想
使用堆栈

将未打印的先压入堆栈，当满足条件时弹出并且回溯
本质上其实是用堆栈模拟递归的思维

二叉搜索树

前置思维：
二分查找：即查找中间的值，然后通过这个中间值于查找值的比较缩小一半的范围。相比于遍历查找：O(n),二分查找的时间复杂度只有O（logn)。注意：想使用二分查找需要数据为有序数据。
根据二分查找的性质，因为在二叉树中，一个结点的左右儿子与他们的父结点是有确定关系的（大或者小）。我们就会想到使用二叉树以实现二分查找，而用于查找的这种树，就称为二叉搜索树
二叉搜索树的一些性质：

1. 对于树上某个值的查找次数=所在的层数
2. 查找成功的次数不大于树的最大层数
3. n个结点的判定树深度为log2（n)+1
4. 一般的非空左子树的所有键值小于其根节点的键值
5. 一般的非空右子树的所有键值大于其根节点的键值

查找

而查找最大最小值时，只需要查找最左最右端点就行了

插入

插入时需要注意维护二叉搜索树仍具有原来的规律。
具体思路时查找需要插入的值一直找到一个NULL的结点，然后新建一个节点储存这个插入值，并且链接到这个结点的父结点上。

删除

在考虑二叉搜索树的删除时，需要考虑三张情况
6. 如果是叶结点时，那么直接删除这个然后再修改这个对应父结点指针为NULL
7. 如果是只有一个儿子的结点，那么就将指向这个结点的指针指向它的儿子就可以了
8. 如下

平衡二叉树（AVL树）

平衡因子：BF(T)，表示左右两子树高度差
平衡二叉树：空树，或者任意结点BF绝对值<=1

给定结点个数n的平衡二叉树，最大高度为O（log2n）

维护插入操作

1. 当插入项为被破坏者（平衡因子被破坏的结点）右子树的右子树上时，RR旋转
   

2. 当插入项为被破坏者（平衡因子被破坏的结点）左子树的左子树上时，LL旋转
   

3. 当插入项为被破坏者（平衡因子被破坏的结点）左子树的右子树上时，LR旋转
   
   

4. 当插入项为被破坏者（平衡因子被破坏的结点）右子树的左子树上时，RL旋转
   
   

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哈夫曼树（最优二叉树）

即：WPL（带权路径长度最小的二叉树)
构造：
每次挑选权值最小的数进行合并

选择12合并

3，3合并

4，5合并

最后9，6合并，即构造出哈夫曼树

代码实现：使用堆进行操作