一直在读《陶哲轩实分析》,陶的书非常的严谨,环环相扣,但是也有个缺点就是计算性的例子和应用方面的例子太少了。所以就又找了本柯朗的《微积分与数学分析》搭配着看。柯朗的书的习题与陶的风格完全不同,里面有大量的考察技巧性的习题,有些题相当有难度,第一卷又没有提供习题答案。我试着解了一小部分习题,放到这里,供有需要的同学参考。能力有限,有些题确实搞不定,有些题给的答案可能是错的。所以仅供参考。
柯朗微积分与数学分析习题选解(1.1 节 a)
第一题
1(a)
反证法:如果 a + x 是有理数,那么可以表示为两个整数之比 pax/qax。又因为 a 是 有理数,所以可以写为 pa/qa。那么:
x=paxqax−paqa=paxqa−paqaxqaxqa
所以 x 也是有理数,矛盾。
1(b)
设 a 和 b 是不相等的两个有理数。那么:
a<a+(b−a)2√<b
是无理数。
第二题
试证明下列各数不是有理数。
2(a) 3√
反证法:如果 3√ 是有理数,那么可以表示为 3√=p/q
那么:
3=p2q2→p2=3q2
所以
p2 含有因子
3,也就是说
p含有因子
3,也就是说
p 可以写为:
p=3n
那么
9n2=3q23n2=q2
所以
q 也含有因子
3,这与
p,q 是最简分数矛盾。
2(b)n√
反证法:如果 n√ 是有理数,那么可以表示为 n√=p/q
那么:
n=p2q2→p2=nq2
所以
p2 含有因子
n,又因为
n 不是完全平方数,所以
p 含有因子
n,也就是说
p 可以写为:
p=nm
那么
n2m2=nq2nm2=q2
所以
q 也含有因子
n,这与
p,q 是最简分数矛盾。
2(c) 2√3
反证法:如果 2√3 是有理数,那么可以表示为 2√3=p/q
那么:
2=p3q3→p3=2q3
所以
p3 含有因子
2,所以
p 含有因子
2,也就是说
p 可以写为:
p=2m
那么
8m3=2q34m3=q3
所以
q 也含有因子
2,这与
p,q 是最简分数矛盾。
2(d) n√p 其中 n 不是完全 p 次幂。
反证法:如果 n√p 是有理数,那么可以表示为 n√p=P/Q
那么:
n=PpQp→Pp=nQp
所以
Pp 含有因子
n,所以
P 含有因子
n,也就是说
P 可以写为:
P=nm
那么
npmp=nQpnp−1mp=Qp
所以
Q 也含有因子
n,这与
p,q 是最简分数矛盾。
第三题
3(a) 对于整系数多项式
anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0=0
如果有有理根,若记其为既约分数
p/q 那么,证明
p 是
a0 的因子,
q 是
an 的因子。
将 x=p/q 带入原式子中,有:
anpnqn+an−1pn−1qn−1+⋯+a1pq+a0=0anpn+an−1qpn−1+⋯+a1qn−1p+a0qn=0
所以:
a0qnp=−(anpn−1+an−1pn−2q+⋯+a1qn−1)anpnq=−(an−1pn−1+⋯+a1qn−2p+a0qn−1)
所以 a0 含有因子 p,an 含有因子 q。
3(b) 证明 2√+2√3 和 3√+2√3 都是无理数。
这道题难度很大,我是借助数学软件才凑出答案的。
设:
x=2√y=2√3z=x+y=2√+2√3
那么可以验算:
z=x+yz2=2+2xy+y2z3=2+2x+6y+3xy2z4=4+8x+2y+8xy+12y2z5=40+4x+20y+10xy+2y2+20xy2z6=12+80x+60y+24xy+60y2+12xy2z7=280+36x+60y+140xy+84y2+84xy2
先想办法去掉含有 y2 的项:
z=x+yz3=2+2x+6y+3xy2z4−12z2=−20+8x+2y−16xyz5−2z2=36+4x+20y+6xy+20xy2z6−60z2=−108+80x+60y−96xy+12xy2z7−84z2=112+36x+60y−28xy+84xy2
再想办法去掉含有
xy2 的项:
z=x+yz4−12z2=−20+8x+2y−16xy3(z5−2z2)−20z2=8−28x−60y+18xyz6−60z2−4z3=−116+72x+36y−96xy3(z7−84z2)−84z3=168−60x−324y−84xy
再想办法去掉含有 xy 的项:
z=x+y8(3(z5−2z2)−20z2)+9(z4−12z2)=364−152x−462y(z6−60z2−4z3)−6(z4−12z2)=4+24x+24y4(3(z7−84z2)−84z3)−21(z4−12z2)=1092−408x−1338y
再想办法去掉含有
y 的项:
8(3(z5−2z2)−20z2)+9(z4−12z2)+462z=364+310x(z6−60z2−4z3)−6(z4−12z2)−24z=44(3(z7−84z2)−84z3)−21(z4−12z2)+1338z=1092+930x
再想办法去掉含有
x 的项:
(z6−60z2−4z3)−6(z4−12z2)−24z=44(3(z7−84z2)−84z3)−21(z4−12z2)+1338z−3(8(3(z5−2z2)−20z2)+9(z4−12z2)+462z)=0
这两个式子化简后的结果是:
−4−24z+12z2−4z3−6z4+z6=012z+48z2−84z3−12z4−18z5+3z7=0
上面第一个式子比较简单,我们就分析这第一个式子。
因为 a6=1 所以如果上面方程有有理数解,那么解的分母只能是 1,也就是说解只能是整数。所以2√+2√3 是无理数。
设 x=3√+2√3 用类似的方法,可以凑出:
x6−9x4−4x3+27x2−36x−23=0
因为 a6=1 所以如果上面方程有有理数解,那么解的分母只能是 1,也就是说解只能是整数。所以3√+2√3 是无理数。