陶哲轩实分析 7.4 节 习题试解

陶哲轩实分析 7.4 节 习题试解

7.4.1 设 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n$ 是绝对收敛的实数级数。并设 $f:\mathbb N \rightarrow \mathbb N$ 是严格增函数。证明：$\sum_{m=0}^{\infty} a_{f(m)}$ 也是绝对收敛的级数。

数学归纳法证明：$f(m) \geq m$

当 $m = 0$ 时，有 $f(0) \geq 0$
假设对于 $m = n$ 有 $f(n) \geq n$
那么当 $m=n+1$ 时，有 $f(n+1) > f(n) > n$
所以 $f(n+1) \geq n+1$

所以，我们证明了 $f(m) \geq m$。

因为 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n$ 是绝对收敛的实数级数。所以对于任意的 $\varepsilon > 0$ 都存在 $N > 0$ 当 $p, q >N$ 有

$$\sum_{n = p}^{q} a_n < \varepsilon$$

因为 $f(p) \geq p > N$， $f(q) \geq q > N$ 所以有

$$\sum_{n = f(p)}^{f(q)} a_n < \varepsilon$$

所以 $\sum_{m=0}^{\infty} a_{f(m)}$ 也是绝对收敛的级数。