最小二乘法拟合圆

最新推荐文章于 2025-06-26 10:56:07 发布

liyuanbhu

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分类专栏：机器视觉+图像处理+数字信号处理数值计算+数学软件文章标签：最小二乘拟合圆

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有一系列的数据点 ${x_i, y_i\}$ ，我们知道这些数据点近似的落在一个圆上，根据这些数据估计这个圆的参数就是一个很有意义的问题。今天就来讲讲如何来做圆的拟合。圆拟合的方法有很多种，最小二乘法属于比较简单的一种。今天就先将这种。

我们知道圆方程可以写为：
$x - x_c)^2 + (y - y_c)^2 = R^2$

通常的最小二乘拟合要求距离的平方和最小。也就是
$=\sum \left (\sqrt{(x_i - x_c)^2 + (y_i - y_c)^2} - R\right )^2$

最小。这个算起来会很麻烦。也得不到解析解。所以我们退而求其次。

$\sum \left((x_i - x_c)^2 + (y_i - y_c)^2 - R^2\right )^2$
这个式子要简单的多。我们定义一个辅助函数：

$g(x, y) = (x - x_c)^2 + (y - y_c)^2 - R^2$

那么上面的式子可以表示为：
$\sum g(x_i, y_i)^2$

按照最小二乘法的通常的步骤，可知 $f$ 取极值时对应下面的条件。

$KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ \frac{\partial…$

先来化简 $∂f∂R=0\frac{\partial f}{\partial R} = 0$
$KaTeX parse error: No such environment: split at position 8: \begin{̲s̲p̲l̲i̲t̲}̲ \frac{\partial…$

我们知道半径 $R$ 是不能为 0 的。所以必然有：
$\sum g(x_i, y_i)= 0$

这是个非常有用的结论。剩下的两个式子：

$KaTeX parse error: No such environment: gather at position 8: \begin{̲g̲a̲t̲h̲e̲r̲}̲ \begin{split} …$
也就是下面两个等式：
$KaTeX parse error: No such environment: gather at position 8: \begin{̲g̲a̲t̲h̲e̲r̲}̲ \sum x_i g(x_i…$
这里设：

$u_i = x_i - \bar x\\ u_c = x_c - \bar x\\ v_i = y_i - \bar y\\ v_c = y_c - \bar y$
其中：
$\bar x = \sum x_i / N\\ \bar y = \sum y_i /N$
那么简单的推导一下，就会发现：
$KaTeX parse error: No such environment: gather at position 8: \begin{̲g̲a̲t̲h̲e̲r̲}̲ \sum u_i g(u_i…$

其实都不需要推导，这个变量替换只不过是修改了坐标原点的位置。而我们的等式根本就与坐标原点的具体位置无关。所以必然成立。

这两个式子展开写是这样的：

$\sum \left({(u_i - u_c)^2 + (v_i - v_c)^2} - R^2\right) u_i = 0\\ \sum \left({(u_i - u_c)^2 + (v_i - v_c)^2} - R^2\right) v_i = 0$

进一步展开：

$\sum \left({u_i ^3 - 2 u_i^2 u_c + u_i u_c ^2 + u_i v_i^2 - 2 u_i v_i v_c + u_i v_c^2} - u_i R^2 \right) = 0\\ \sum \left({u_i ^2 v_i - 2 u_i v_i u_c + v_i u_c ^2 + v_i^3 - 2 v_i^2 v_c + v_i v_c^2} - v_i R^2 \right) = 0$

我们知道 $ \sum u_i = 0$, $∑vi=0\sum v_i = 0$ 。所以上面两个式子是可以化简的。

$\sum \left({u_i ^3 - 2 u_i^2 u_c + u_i v_i^2 - 2 u_i v_i v_c} \right) = 0\\ \sum \left({u_i ^2 v_i - 2 u_i v_i u_c + v_i^3 - 2 v_i^2 v_c} \right) = 0$

为了简化式子，我们定义几个参数：

$S_{uuu} = \sum {u_i ^3} \\ S_{vvv} = \sum {v_i ^3} \\ S_{uu} = \sum {u_i ^2} \\ S_{vv} = \sum {v_i ^2} \\ S_{uv} = \sum {u_i v_i} \\ S_{uuv} = \sum {u_i^2 v_i} \\ S_{uvv} = \sum {u_i v_i ^2}$

那么上面的式子可以写为：
$S_{uu} u_c + S_{uv}v_c = \frac{S_{uuu} +S_{uvv}}{2} \\ S_{uv} u_c + S_{vv} v_c =\frac{S_{uuv} + S_{vvv}} {2}$

至此，就可以解出 $u_c$ 和 $v_c$ 了。

$u_c = \frac{S_{uuv} S_{uv} - S_{uuu} S_{vv} - S_{uvv} S_{vv} + S_{uv} S_{vvv}}{2 (S_{uv}^2 - S_{uu} S_{vv})} \\ v_c = \frac{-S_{uu} S_{uuv} + S_{uuu} S_{uv} + S_{uv} S_{uvv} - S_{uu} S_{vvv}} {2 (S_{uv}^2 - S_{uu} S_{vv})}$

那么：

$x_c = u_c + \bar x\\ y_c = v_c + \bar y$

还剩下个 $R$ 没求出来，也很简单。

$\sum g(x_i, y_i) = 0 \\ \sum \left((x_i - x_c)^2 + (y_i - y_c)^2 - R^2\right) = 0$

所以：

$R^2 = \sum {\left((x_i - x_c)^2 + (y_i - y_c)^2\right)} / N$

好了。下面给出个代码，这个代码的具体公式和我这里给出的有一点小差异，但是原理是相同的。

/**
 * 最小二乘法拟合圆
 * 拟合出的圆以圆心坐标和半径的形式表示
 * 此代码改编自 newsmth.net 的 jingxing 在 Graphics 版贴出的代码。
 * 版权归 jingxing， 我只是搬运工外加一些简单的修改工作。
 */
typedef complex<int> POINT;
bool circleLeastFit(const std::vector<POINT> &points, double &center_x, double &center_y, double &radius)
{
     center_x = 0.0f;
     center_y = 0.0f;
     radius = 0.0f;
     if (points.size() < 3)
     {
         return false;
     }

     double sum_x = 0.0f, sum_y = 0.0f;
     double sum_x2 = 0.0f, sum_y2 = 0.0f;
     double sum_x3 = 0.0f, sum_y3 = 0.0f;
     double sum_xy = 0.0f, sum_x1y2 = 0.0f, sum_x2y1 = 0.0f;

     int N = points.size();
     for (int i = 0; i < N; i++)
     {
         double x = points[i].real();
         double y = points[i].imag();
         double x2 = x * x;
         double y2 = y * y;
         sum_x += x;
         sum_y += y;
         sum_x2 += x2;
         sum_y2 += y2;
         sum_x3 += x2 * x;
         sum_y3 += y2 * y;
         sum_xy += x * y;
         sum_x1y2 += x * y2;
         sum_x2y1 += x2 * y;
     }

     double C, D, E, G, H;
     double a, b, c;

     C = N * sum_x2 - sum_x * sum_x;
     D = N * sum_xy - sum_x * sum_y;
     E = N * sum_x3 + N * sum_x1y2 - (sum_x2 + sum_y2) * sum_x;
     G = N * sum_y2 - sum_y * sum_y;
     H = N * sum_x2y1 + N * sum_y3 - (sum_x2 + sum_y2) * sum_y;
     a = (H * D - E * G) / (C * G - D * D);
     b = (H * C - E * D) / (D * D - G * C);
     c = -(a * sum_x + b * sum_y + sum_x2 + sum_y2) / N;

     center_x = a / (-2);
     center_y = b / (-2);
     radius = sqrt(a * a + b * b - 4 * c) / 2;
     return true;
}

下图是个实际测试的结果。对这种均匀分布的噪声数据计算的结果还是很准确的。

这里写图片描述