uva 11300 Spreading the Wealth_数学推倒 + 思维-优快云博客

本文详细解析了UVA11300SpreadingtheWealth问题，通过数学推导和思维分析，提出了适用于大规模数据集的解决方案。文章介绍了如何通过寻找中位数来最小化金币转移的总成本，最终给出了一种O(nlogn)时间复杂度的高效算法。

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uva 11300 Spreading the Wealth_数学推倒 + 思维

这道题和负载平衡问题是同一道题，如果 n<=100 的话是可以用最小费用流来求解的。
但是题中 n 最大可达到 106, 这就需要我们进行一些性质分析与推导。
首先，我们设每个·人手里最终金币数为 C
设 Xi 为第 i个人给第 i+1 个人的金币数目，这个数目可以为负(第i+1 个人向左给了第i 个人∣Xi∣个。
则我们不难发现：

A2+X1−X2=C
A3+X2−X3=C
A4+X3−X4=C
…
Ai+Xi−1−Xi=C
而这道题要求的其实就是min∣X1∣+∣X2∣+∣X3∣+∣X4∣+...∣Xn∣
那么，我们可将上面的等式进行变形，得：
X1=X1
X2=A2−C+X1
X3=A2+A3−2∗C+X1
X4=A2+A3+A4−3∗C+X1
X5=A2+A3+A4+A5−4∗C+X1
此时，相信聪明的读者们不难发现规律：
Xi=k=2∑i−(i−1)∗C+X1 即 Xi=k=2∑i−(i−1)∗C−（−X1）
我们可以把X1抽象成数轴上的一个点，我们设gi=k=2∑i−(i−1)∗C，那么我们希望 X1 到所有 gi 的距离和最短，这个 Xi 一定是 gi中的中位数，于是我们将所有的 gi 排序，取中位数作为 X1 即可，我们也就能顺便推出所有的 Xi ，最后加和即可，总时间复杂度为 O(nlogn)。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
const int maxn = 1000000 + 10;
int  A[maxn], n;
long long g[maxn], x[maxn], sumv[maxn], C, ans;
inline void init()
{
    memset(g,0,sizeof(g));
    memset(sumv, 0, sizeof(sumv));
    memset(x,0,sizeof(x));
    memset(A,0,sizeof(A));
    C = ans = 0;
}
int main()
{
    //freopen("input.txt","r",stdin);
    while(scanf("%d",&n) != EOF)
    {
        init();
        for(int i = 1;i <= n; ++i)scanf("%d",&A[i]), C += A[i],sumv[i] = A[i] + sumv[i-1];
        C /= n;
        for(int i = 2;i <= n; ++i) g[i] = (sumv[i] - sumv[1]) - (i - 1) * C;
        sort(g + 1, g + 1 + n);
        int pos = n / 2;
        if(n % 2 == 1) ++ pos;
        x[1] = -g[pos];
        for(int i = 2; i <= n; ++i) x[i] = A[i] + x[i-1] - C;
        for(int i = 1; i <= n; ++i) ans += abs(x[i]);
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}

posted @ 2018-10-08 17:09 EM-LGH 阅读(...) 评论(...) 编辑收藏