最短路径算法(Shortest Paths Algorithm)

          假如你有一张地图，地图上给出了每一对相邻城市的距离，从一个地点到另外一个地点，如何找到一条最短的路？ 最短路算法要解决的就是这类问题。定义：给定一个有(无)向图，每一条边有一个权值 w，给定一个起始点 S 和终止点 T ，求从 S 出发走到 T 的权值最小路径，即为最短路径。最短路算法依赖一种性质：一条两顶点间的最短路径包含路径上其他最短路径。简单的说就是：最短路径的子路径是最短路径。这个用反证法很好证明。

一、松弛技术（Relaxation）

了解最短路算法前，必须先了解松弛技术, 为什么叫松弛，有特定原因，有兴趣可以去查查相关资料，如果简化理解松弛技术，它本质上就是一个贪心操作。松弛操作：对每个顶点v∈V，都设置一个属性d[v]，用来描述从源点 s 到 v  的最短路径上权值的上界，成为最短路径估计(Shortest-path Estimate)，同时π[v]代表前驱。初始化伪代码：

       初始化之后，对所有 v∈V，π[v] = NIL，对v∈V – {s}，有 d[s] = 0 以及 d[v] = ∞。松弛一条边（u, v），如果这条边可以对最短路径改进，则更新 d[v] 和 π[v] 。一次松弛操作可以减小最短路径估计的值 d[v] ，并更新 v 的前趋域 π[v]。下面的伪代码对边（u，v）进行了一步松弛操作：

  上边的图示中，左边例子，最短路径估计值减小，右边例子，最短路径估计值不变。当发现 v 到 u 有更近的路径时，更新 d[v] 和 π[v] 。

二、Dijkstra算法

        解决最短路问题，最经典的算法是 Dijkstra算法，它是一种单源最短路算法，其核心思想是贪心算法(Greedy Algorithm)，Dijkstra算法由荷兰计算机科学家Dijkstra发现，这个算法至今差不多已有50年历史，但是因为它的稳定性和通俗性，到现在依然强健。另外，Dijkstra算法要求所有边的权值非负。

Dijkstra算法思想为：设 G = (V, E) 是一个带权有向图，把图中顶点集合 V 分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S 表示，初始时 S 中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将其加入到集合 S 中，直到全部顶点都加入到 S 中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U 表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入 S 中。在加入的过程中，总保持从源点 v 到 S 中各顶点的最短路径长度不大于从源点 v 到 U 中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S 中的顶点的距离就是从 v 到此顶点的最短路径长度，U 中的顶点的距离，是从 v 到此顶点只包括 S 中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。伪代码：

        第 1 行将 d 和 π 初始化，第 2 行初始化集合 S 为空集，4 ~ 8 行每次迭代，都从 U 中选取一个点加入到 S 中，然后所有的边进行松弛操作，即每次迭代，整个图的 d 和 π 都更新一遍。过程本身很简单，下边是图示：

         源点 s 是最左端顶点。最短路径估计被标记在顶点内，阴影覆盖的边指出了前趋的值。黑色顶点在集合 S中，而白色顶点在最小优先队列 Q = V – S 中。a) 第 4 ~ 8 行 while 循环第一次迭代前的情形。阴影覆盖的顶点具有最小的 d 值，而且在第 5 行被选为顶点 u 。b) ~ f) while 循环在第一次连续迭代后的情形。每个图中阴影覆盖的顶点被选作下一次迭代第 5 行的顶点 u。f) 图中的 d 和 π 值是最终结果。

       Dijkstra算法时间主要消耗在寻找最小权值的边，和松弛所有剩余边，所以 EXTRACT-MIN(Q) 这一步，更好的方法是使用优先队列，优先队列可以用二叉堆，斐波那契堆等来实现，下面的代码，我用库自带的优先队列，经这样改造后，效率还是很可观的。

       理解最短路算法，最基础，最简单，最经典的要数这个题目：HDU 2544 最短路，纯粹的算法练习题，用Dijkstra，我写了三个代码来实现。

1）邻接矩阵 + Dijkstra，最简单的方式，当然也是最好理解的方式：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<climits>
using namespace std; 
const int NV = 101;
const int inf = INT_MAX >> 1; 
int m, n;int map[NV][NV];
int dis[NV];bool mark[NV]; 
int Spfa (int src, int des) 
{    
	for (int i = 0; i <= n; i++)
	{       
		mark[i] = false;
		dis[i] = inf;  
	}  
	queue<int> Q;
	mark[src] = true; 
	dis[src] = 0;    
	Q.push(src);   
	while (!Q.empty())
	{        
		int first = Q.front();  
		Q.pop();     
		mark[first] = false;    
		for (int i = 1; i <= n; i++)
		{    
			if (dis[first] + map[first][i] < dis[i]) 
			{     
				if (!mark[i])
				{                
					Q.push(i);      
				}               
				dis[i] = dis[first] + map[first][i];     
				mark[i] = true;     
			}      
		}//for  
	}//while   
	return  dis[des];
} 
int main() 
{   
	while (~scanf("%d%d", &n, &