k则最短路径matlab,Yen的K条最短路径算法（KSP）

一、问题介绍

1.求K条最短路径的必要性

最短路径问题分为：

单源最短路径

所有顶点对间的最短路径

共同的缺陷：

这里的最短路径指两点间最短的那一条路径，不包括次短、再次短等路径。这样的最短路径问题比较狭义。

在实际情况中，例如：用户在使用咨询系统或决策支持系统时，希望得到最优的决策参考外，还希望得到次优、再次优等决策参考，这同样反映在最短路径问题上。因此有必要将最短路径问题予以扩展和延伸，称为K条最短路径问题，即不但要求得最短路径，还要求得次短、再次短等路径。

2.KSP问题定义

KSP问题是对最短路径问题的推广，它除了要确定最短路径之外，还要确定次短路径、第三短路径，...，知道找到第K短路径。用Pi表示从起点s到终点t的第i短路径，KSP问题是确定路径集合Pk={p1,p2,p3,...,pk}，使得满足以下3个条件：

1)K条路径是按次序产生的，即对于所有的i(i=1,2,...,K-1)，pi是在pi+1之前确定；

2)K条路径是按长度从小到大排列的，即对于所有的i(i=1,2,...,K-1)，都有c(pi)

3)这K条路径是最短的，即对于所有的p∈Pst-PK，都有c(pk)

3.相关概念

用于说明偏离概念的图

设起点为 1 ，终点为 5 。p1、p2、p3 分别表示起点到终点间最短路径、第二短路径、第三短路径。

1)偏离点

p3相对于p1的偏离节点为节点 2

2)偏离边

p3相对于p1的偏离边为(2,4)

3)偏离路径

p3相对于p1的(2,4,5)

4.KSP算法分类

1) 一般KSP问题

对路径没有任何限制

2) 限定无环KSP问题

要求所有路径都是简单路径，不能有环

当路径中所有节点都不同时，称为无环路径

两类KSP问题具有不同的特征，分别提出了不同的求解算法，分别称之为

一般的KSP算法

限定无环KSP算法

K最短路径算法分类

二、思路

下面列出用Yen's算法求KSP的代码。该算法是Yen在1971年提出的以其名字命名的Yen算法。算法采用了递推法中的偏离路径算法思想，适用于非负权边的有向无环图。

1.流程图

Q：将什么样的点做为偏离点

在pk的基础上求pk+1时，将pk的路径上除终点d之外的节点分别作为偏离点

Q：求Vi到终点d的最短路径

设起点为s，终点为t，偏离点为Vi。求偏离点到终点的最短路径时要注意两个问题

防止从起点到终点的整体路径有环

从Vi到t的最短路径不能包含s到Vi的路径上的任何节点

避免与已经在结果列表中的路径重复

从Vi发出的边不能与结果列表中的路径p1,p2,...pk，上从Vi发出边的相同

这个体现在代码上就是：在用Dijkstra算法算最短路径时对数组的初始化要进行特别处理

// 不能走的边

if (unavailableEdges != null && unavailableEdges.size() != 0) {

for (MyPath p: unavailableEdges) {

int index = p.path.indexOf(startIndex);

if (index >= 0 && (index + 1) >= 0) {

dist[index + 1] = Double.MAX_VALUE;

path[index + 1] = -1;

}

}

}

// 不能走的点

if (unavailableNodeIndexs != null && unavailableNodeIndexs.size() != 0) {

for (Integer point: unavailableNodeIndexs) {

set[point] = 1;

}

}

Q：每次找到新的最短路径时，需将该路径从候选链列表中移除，并加入到结果列表中

Q：候选列表中的路径不能重复

所以选择用Set来存储候选路径，去重

Q：如何从候选列表中选出合适的路径

如果只有一条路径权值和最小的路：将该路径返回；

如果路径权值和最小的路有多条：从其中选出节点数最少的路径。

2.手工模拟求K最短路径流程

求C到H的10条最短路径

节点加载内存后存储在Node[] nodes数组中，各个节点在数组中的存储位置如下，下面用各个点的数组下标进行说明。表格中括号中备注为路径权重。

1)通过最短路径算法Dijkstra得到C到H的最短路径

p