k则最短路径matlab,Yen的K条最短路径算法(KSP)

本文介绍了K条最短路径问题的背景、定义及相关概念,并详细阐述了Yen算法的思想和流程,通过实例展示了如何用该算法求解非负权有向无环图的K条最短路径。最后给出了Java代码实现。

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一、问题介绍

1.求K条最短路径的必要性

最短路径问题分为:

单源最短路径

所有顶点对间的最短路径

共同的缺陷:

这里的最短路径指两点间最短的那一条路径,不包括次短、再次短等路径。这样的最短路径问题比较狭义。

在实际情况中,例如:用户在使用咨询系统或决策支持系统时,希望得到最优的决策参考外,还希望得到次优、再次优等决策参考,这同样反映在最短路径问题上。因此有必要将最短路径问题予以扩展和延伸,称为K条最短路径问题,即不但要求得最短路径,还要求得次短、再次短等路径。

2.KSP问题定义

KSP问题是对最短路径问题的推广,它除了要确定最短路径之外,还要确定次短路径、第三短路径,...,知道找到第K短路径。用Pi表示从起点s到终点t的第i短路径,KSP问题是确定路径集合Pk={p1,p2,p3,...,pk},使得满足以下3个条件:

1)K条路径是按次序产生的,即对于所有的i(i=1,2,...,K-1),pi是在pi+1之前确定;

2)K条路径是按长度从小到大排列的,即对于所有的i(i=1,2,...,K-1),都有c(pi)

3)这K条路径是最短的,即对于所有的p∈Pst-PK,都有c(pk)

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3.相关概念

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用于说明偏离概念的图

设起点为 1 ,终点为 5 。p1、p2、p3 分别表示起点到终点间最短路径、第二短路径、第三短路径。

1)偏离点

p3相对于p1的偏离节点为节点 2

2)偏离边

p3相对于p1的偏离边为(2,4)

3)偏离路径

p3相对于p1的(2,4,5)

4.KSP算法分类

1) 一般KSP问题

对路径没有任何限制

2) 限定无环KSP问题

要求所有路径都是简单路径,不能有环

当路径中所有节点都不同时,称为无环路径

两类KSP问题具有不同的特征,分别提出了不同的求解算法,分别称之为

一般的KSP算法

限定无环KSP算法

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K最短路径算法分类

二、思路

下面列出用Yen's算法求KSP的代码。该算法是Yen在1971年提出的以其名字命名的Yen算法。算法采用了递推法中的偏离路径算法思想,适用于非负权边的有向无环图。

1.流程图

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Q:将什么样的点做为偏离点

在pk的基础上求pk+1时,将pk的路径上除终点d之外的节点分别作为偏离点

Q:求Vi到终点d的最短路径

设起点为s,终点为t,偏离点为Vi。求偏离点到终点的最短路径时要注意两个问题

防止从起点到终点的整体路径有环

从Vi到t的最短路径不能包含s到Vi的路径上的任何节点

避免与已经在结果列表中的路径重复

从Vi发出的边不能与结果列表中的路径p1,p2,...pk,上从Vi发出边的相同

这个体现在代码上就是:在用Dijkstra算法算最短路径时对数组的初始化要进行特别处理

// 不能走的边

if (unavailableEdges != null && unavailableEdges.size() != 0) {

for (MyPath p: unavailableEdges) {

int index = p.path.indexOf(startIndex);

if (index >= 0 && (index + 1) >= 0) {

dist[index + 1] = Double.MAX_VALUE;

path[index + 1] = -1;

}

}

}

// 不能走的点

if (unavailableNodeIndexs != null && unavailableNodeIndexs.size() != 0) {

for (Integer point: unavailableNodeIndexs) {

set[point] = 1;

}

}

Q:每次找到新的最短路径时,需将该路径从候选链列表中移除,并加入到结果列表中

Q:候选列表中的路径不能重复

所以选择用Set来存储候选路径,去重

Q:如何从候选列表中选出合适的路径

如果只有一条路径权值和最小的路:将该路径返回;

如果路径权值和最小的路有多条:从其中选出节点数最少的路径。

2.手工模拟求K最短路径流程

求C到H的10条最短路径

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节点加载内存后存储在Node[] nodes数组中,各个节点在数组中的存储位置如下,下面用各个点的数组下标进行说明。表格中括号中备注为路径权重。

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1)通过最短路径算法Dijkstra得到C到H的最短路径

p

<think>好的,我需要回答用户关于如何在Matlab中实现第k个最短路径算法的问题。首先,用户提到了几个引用,包括K最短路径算法、Floyd算法以及相关的Matlab实现。我需要结合这些信息,给出一个清晰的步骤说明,并生成相关问题。 首先,我应该明确第k个最短路径的概念。用户提到的KSP算法,也就是K最短路径算法,用于找到两点之间前k最短路径。这与Floyd算法不同,Floyd主要用于所有节点对的最短路径。因此,可能需要使用基于Dijkstra的改进算法,比如Yen's算法或者Eppstein's算法。但Matlab本身是否有内置函数呢?需要确认一下。 根据引用[1],有一篇优快云博客介绍了MATLAB中的K最短路径算法,可能提供了实现方法。用户提到的引用[2]和[3]主要关于Floyd算法,但用户的问题是关于第k个最短路径,所以可能需要参考引用[1]的方法。 接下来,我需要考虑如何在Matlab中实现。可能需要使用图论工具箱中的函数,比如graph或digraph对象,然后利用shortestpath函数,但该函数默认返回最短路径。要找到第k,可能需要修改或使用其他方法。 可能的步骤包括: 1. 构建图结构,使用graph或digraph。 2. 使用k最短路径算法,可能需要自定义实现,比如循环地删除前一最短路径的边,再寻找下一。 3. 参考引用[1]中的方法,可能涉及修改路径或权重。 需要注意正确使用Matlab的语法,比如处理节点和边的矩阵,使用优先队列等数据结构。可能还需要处理路径的存储,避免重复。 然后,我需要确保回答结构清晰,分步骤说明,并给出示例代码。同时,引用相关的参考文献,如引用[1]的方法。最后生成相关问题,比如性能优化、应用场景等。 现在需要检查是否有遗漏,比如是否应该提到具体的函数或工具包,或者是否有更高效的实现方式。还要注意用户要求使用中文,代码示例可能需要用Matlab,而不是Python。根据引用[1]提到的KSP实现,可能需要使用递归或循环来生成多路径,并处理路径的排除。 总结步骤: 1. 构建图模型。 2. 初始化候选路径列表。 3. 使用Dijkstra找到第一最短路径。 4. 迭代生成后续路径,通过移除边或节点并重新计算。 5. 收集前k路径。 在示例代码中,可能需要模拟这一过程,或者引用现有的函数。例如,使用matlab的graph对象和修改后的Dijkstra算法。 最后,生成相关问题,如算法效率、优化方法、与其他算法的比较等。</think>在Matlab中实现第k个最短路径算法KSP, K-shortest paths)可通过改进Dijkstra算法或结合图论工具箱实现。以下是分步实现方法: --- ### **实现步骤** 1. **构建图结构** 使用Matlab的`graph`或`digraph`对象定义图的节点和边,并赋予权重。例如: ```matlab s = [1 1 2 3 4]; % 起点 t = [2 3 4 4 5]; % 终点 weights = [2 1 3 2 4]; % 边权重 G = digraph(s, t, weights); ``` 2. **初始化候选路径列表** 通过Dijkstra算法找到第一最短路径: ```matlab [path1, dist1] = shortestpath(G, 1, 5); % 默认最短路径 k_paths = {path1}; % 存储前k路径 ``` 3. **迭代生成第2到第k路径** 使用**Yen's算法**思想,每次移除前一路径的某边后重新计算路径: ```matlab for i = 2:k temp_paths = {}; for j = 1:length(k_paths{i-1})-1 % 移除第j边 modified_G = rmedge(G, k_paths{i-1}(j), k_paths{i-1}(j+1)); % 重新计算路径 [new_path, new_dist] = shortestpath(modified_G, 1, 5); if ~isempty(new_path) temp_paths{end+1} = new_path; end end % 选择最短的新路径加入列表 k_paths{i} = temp_paths{argmin(cellfun(@(p) sum(weights(sub2ind(size(weights), p(1:end-1), p(2:end))))), temp_paths))}; end ``` 4. **输出结果** 最终`k_paths`将包含前k最短路径[^1]。 --- ### **代码说明** - **Yen's算法**通过逐步移除边并重新计算路径来生成候选路径。 - 需处理图的无环性和路径唯一性,避免重复路径。 - 若需高效实现,可结合优先队列优化路径选择。 --- ### **应用场景** - 交通网络中的替代路线规划。 - 通信网络中的冗余路径设计。 - 物流路径优化(如避开拥堵路段)[^3]。 ---
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