动态规划-力扣第300题“最长递增子序列”

力扣第300题是 “最长递增子序列”（Longest Increasing Subsequence，LIS），题目要求找到给定数组中最长的严格递增子序列的长度。

题目描述

给定一个整数数组 nums，找到其中最长的严格递增子序列的长度。

示例

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输入: nums = [10, 9, 2, 5, 3, 7, 101, 18]
输出: 4
解释: 最长的递增子序列是 [2, 3, 7, 101]，长度为 4。
解题思路

动态规划（DP）

定义状态：
dp[i] 表示以 nums[i] 结尾的最长递增子序列的长度。
状态转移：
对于每个 i，遍历 j 从 0 到 i-1：
如果 nums[j] < nums[i]，说明 nums[i] 可以接在 nums[j] 后面，更新 dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)。
初始条件：
每个元素本身至少是一个长度为1的子序列，因此 dp[i] = 1。
最终结果：
dp 数组中的最大值即为最长递增子序列的长度。
2. 贪心 + 二分查找

核心思想：
维护一个数组 tails，其中 tails[k] 表示长度为 k+1 的递增子序列的最小末尾元素。
通过二分查找快速确定每个元素在 tails 中的位置，从而更新 tails。
优点：
时间复杂度优化为 O(n log n)。
代码实现

动态规划

public class Solution {
    public int lengthOfLIS(int[] nums) {
        if (nums == null || nums.length == 0) {
            return 0;
        }

        int n = nums.length;
        int[] dp = new int[n];
        Arrays.fill(dp, 1); // 每个元素至少是一个长度为1的子序列

        int maxLen = 1; // 记录最大长度
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                if (nums[j] < nums[i]) {
                    dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);
                }
            }
            maxLen = Math.max(maxLen, dp[i]);
        }

        return maxLen;
    }
}

代码解析

动态规划

初始化：
dp 数组初始化为 1，因为每个元素本身至少是一个长度为1的子序列。
状态转移：
对于每个 i，遍历 j 从 0 到 i-1，如果 nums[j] < nums[i]，则更新 dp[i]。
结果：
dp 数组中的最大值即为最长递增子序列的长度。

**为什么递推公式必须是dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);**而不是dp[i] = dp[j] + 1;举个例子：27869，i=4,j=2时dp[j] = 3,j=3时dp[j] = 2。dp[j]后面是可能比前面大的，这样遍历前面得到的dp[i]是可能更大的，但是我们只取最大的就好了。