最长递增子序列

问题描述： 随机生成小于等于n的自然数的一个序列，输出其最长递增子序列（任意一个即可）。

           

n 分别取 1000，3000，10000。

             例： n=5 随机序列为 5 1 4 2 3，正确输出为1 2 3，即长度为3的递增子序列。

 

             提示：参考LCS，思考能否达到时间复杂度（O(nlogn)）

 

本题也采用了两种方案实现，第一种可以采用动态规划的思想，第二种就是书上的LCS求子序列的方法，通过对随机产生的数据然后通过快速排序进行排序，然后利用LCS，就可以求出结果，并且把它的所有结果都输出来，通过递归的方法可以把他的所有最长LCS求出来，但是存在问题，求出的解包含重复的解，通过设置遍历位visit[i]可以大大减小重复数，但是还是有，应该通过其他的数据结构可以实现，由于时间有限，就不在往下继续做。

 

 

方案1思想：

设f(i)表示L中以ai为末元素的最长递增子序列的长度。则有如下的递推方程：

这个递推方程的意思是，在求以ai为末元素的最长递增子序列时，找到所有序号在L前面且小于ai的元素aj，即j<i且aj<ai。如果这样的元素存在，那么对所有aj,都有一个以aj为末元素的最长递增子序列的长度f(j)，把其中最大的f(j)选出来，那么f(i)就等于最大的f(j)加上1，即以ai为末元素的最长递增子序列，等于以使f(j)最大的那个aj为末元素的递增子序列最末再加上ai；如果这样的元素不存在，那么ai自身构成一个长度为1的以ai为末元素的递增子序列。

  输出结果如下：(采用方案一的方法)

 

方案2的输出结果如下：

 

 

 

数据较小时的输出结果如下：

 

 

 

 

 

 

 

 

注：这里产生的随机数和输入的数据大小相关，详细情况可以参照代码。

输出结果为1000的时候

 

输出结果为3000的时候

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

输出结果为10000的时候

 

 

 

 

 

思考题的回答：

提示：参考LCS，思考能否达到时间复杂度（O(nlogn)）

 

答：可以实现，通过对方案一的改进

在计算每一个f(i)时，都要找出最大的f(j)(j<i)来，由于f(j)没有顺序，只能顺序查找满足a_j<a_i最大的f(j)，如果能将让f(j)有序，就可以使用二分查找，这样算法的时间复杂度就可能降到O(nlogn)。于是想到用一个数组B来存储“子序列的”最大递增子序列的最末元素，即有B[f(j)] = a_j。

_{注：代码上传在http://download.youkuaiyun.com/detail/liuyongvs2009/7077279}