位数问题题解

原创已于 2023-07-13 16:17:49 修改 · 328 阅读

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#c++ #算法 #开发语言

于 2023-07-13 15:53:08 首次发布

该问题是一个关于计数的问题，涉及到动态规划和模运算。给定一个数N，我们需要计算所有N位数中，含有偶数个3的数的数量。通过动态规划，我们可以分别计算出含有偶数个和奇数个3的数的数量，然后根据位数的增长来更新这两个值，最后对12345取模得到答案。

题目

题目描述

在所有的N位数中，有多少个数中有偶数个数字3?由于结果可能很大，你只需要输出这个答案对12345取余的值。

输入格式

输入一个数N。

输出格式

输出有多少个数中有偶数个数字3。

样例

输入 #1

2

输出 #1

73

数据范围与提示

N <= 10000

分析

统计`n`位数中包含偶数个 `3` 的个数，记作`f[n][1]`；统计包含奇数个 `3` 的个数，记作 `f[n][2]`

以一位数为例(要特判):

由于0是偶数所以没有3也属于偶数的情况。所以f[1][1] = 8（ 1,2,4,5,6,7,8,9 (0不是一位数) ）
奇数个3 的情况只有单独的 3，所以f[1][2] = 1 (3)

以二位数为例:

十位为 3，则个位必须为奇数个 3，数量为 f[1][1]
十位不为 3(有 1,2,4,5,6,7,8,9 ，8种情况)，则个位必须为偶数个 3(有0,1,2,4,5,6,7,8,9)，数量为 f[1][2]

得 f[2][2] = f[1][1] + 8 * f[1][2] 。

以三位数为例:

百位为 3，则十位和个位必须为奇数个 3，数量为 f[2][1] = f[1][2] + 9 * f[1][1]
百位不为 3(有 1,2,4,5,6,7,8,9 ，8种情况)，则十位和个位必须为偶数个 3(有0,1,2,4,5,6,7,8,9)，数量为 f[2][2] = f[1][1] + 9 * f[1][2]

得：
f[3][2] = f[2][1] + 8 * f[2][2]
f[3][1] = f[2][2] + 8 * f[2][1]

这时我们发现在求最高位时不能是0，所以要只有8种情况
，所以我们在最高位时要进行特判

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int mod = 12345;
int n;
int f[10005][3];
signed main() {
    cin >> n;
    if (n == 1) {
        cout << 8 << "\n";
    } else {
        f[1][1] = 9;
        f[1][2] = 1;
        for (int i = 2; i <= n - 1; ++i) {
            f[i][1] = ( (9 * (f[i-1][1] % mod)) % mod + (f[i - 1][2] % mod) ) % mod;
            f[i][2] = ( (f[i - 1][1] % mod) + (9 * (f[i-1][2] % mod)) % mod ) % mod;
        }
        f[n][1] = ((f[n - 1][2] % mod) + (8 * (f[n-1][1] % mod)) % mod) % mod;
        cout << f[n][1] << "\n";
    }
    return 0;
}