完全背包问题

完全背包问题

题目

有 N 种物品和一个容量为 V 的背包，每种物品都有无限件可用。放入第 i 种物品
的费用是 C[i]，价值是 W[i]。求解：将哪些物品装入背包，可使这些物品的耗费的费用总
和不超过背包容量，且价值总和最大。

思路

这个问题非常类似于01背包问题，所不同的是每种物品有无限件。也就是从每种物品的角度考虑，与它相关的策略已并非取或不取两种，而是有取0件、取1件、取2件……等很多种。如果仍然按照解01背包时的思路，令f [ i ] [ j ]表示前i种物品恰放入一个容量为V的背包的最大权值。仍然可以按照每种物品不同的策略写出状态转移方程，像这样：

f[i][j]=max(f[i−1][j−k∗c[i]]+k∗w[i])∣0≤k∗c[i]≤j

完全背包问题有一个很简单有效的优化，是这样的：若两件物品i ii、j jj满足c [ i ] ≤ c [ j ]且w [ i ] ≥ w [ j ] ，则将物品j jj去掉，不用考虑。这个优化的正确性显然：任何情况下都可将价值小费用高得j jj换成物美价廉的i ii，得到至少不会更差的方案。对于随机生成的数据，这个方法往往会大大减少物品的件数，从而加快速度。然而这个并不能改善最坏情况的复杂度，因为有可能特别设计的数据可以一件物品也去不掉。代码如下：

for (int i = 1; i <= n; i++)
    for (int j = c[i]; j <= V; j++)
        f[j] = max(f[j], f[j - c[i]] + w[i]);

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int c[205], f[5005], v[205], t, m;
int main()
{
	cin >> t >> m;
	for(int i = 1; i <= m; i++) cin >> c[i] >> v[i];
	for(int i = 1; i <= m; i++) {
       for(int j = t;j >= c[i]; j--) {
            f[j] = max(f[j], f[j - c[i]] + v[i]);
       }
    }
    cout<<f[t];
	return 0;
}

谢谢观看