高维矩阵求逆的方法,inv、pinv、/

本文详细解释了矩阵逆(inv)与伪逆(pinv)的概念及其应用场景,特别是对于非方阵或奇异矩阵的情况。介绍了如何使用这些概念来解决线性方程组,并对比了它们之间的区别。

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1、inv 与 pinv

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对于方阵A,如果为非奇异方阵,则存在逆矩阵inv(A)
对于奇异矩阵或者非方阵,并不存在逆矩阵,但可以使用pinv(A)求其伪逆

(1)inv
inv(A)*B 实际上可以写成A\B
B*inv(A) 实际上可以写成B/A
这样比求逆之后带入精度要高
A\B=pinv(A)*B 
A/B=A*pinv(B)

(2)pinv
X=pinv(A),X=pinv(A,tol),其中tol为误差

pinv是求广义逆

先搞清楚什么是伪逆。
对于方阵A,若有方阵B,使得:A·B=B·A=I,则称B为A的逆矩阵。
如果矩阵A不是一个方阵,或者A是一个非满秩的方阵时,矩阵A没有逆矩阵,但可以找到一个与A的转置矩阵A'同型的矩阵B,使得:
     A·B·A=A        
      B·A·B=B
此时称矩阵B为矩阵A的伪逆,也称为广义逆矩阵。因此伪逆阵与原阵相乘不一定是单位阵。

当A可逆时,B就是A的逆矩阵,否则就是广义逆。满足上面关系的A,B矩阵,有很多和逆矩阵相似的性质。


如果A为非奇异矩阵的话,虽然计算结果相同,但是pinv会消耗大量的计算时间。

在其他情况下,pinv具有inv的部分特性,但是不完全相同。


(3)\ 运算符

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使用各类优化算法求逆都得不到好的结果,结果一个“\”运算居然很快就得到了很精确的解。这是个很奇妙的事情。因此,追求“\”的运算原理是很必要的。

 matlabhelp中写道:

\   Backslash or left matrix divide.
    A\B is the matrix division of A into B, which is roughly the
    same as INV(A)*B , except it is computed in a different way.
    If A is an N-by-N matrix and B is a column vector with N
    components, or a matrix with several such columns, then
    X = A\B is the solution to the equation A*X = B. A warning 
    message is printed if A is badly scaled or nearly singular.
    A\EYE(SIZE(A)) produces the inverse of A.
 
    If A is an M-by-N matrix with M < or > N and B is a column
    vector with M components, or a matrix with several such columns,
    then X = A\B is the solution in the least squares sense to the
    under- or overdetermined system of equations A*X = B. The
    effective rank, K, of A is determined from the QR decomposition
    with pivoting. A solution X is computed which has at most K
    nonzero components per column. If K < N this will usually not
    be the same solution as PINV(A)*B.  A\EYE(SIZE(A)) produces a
    generalized inverse of A.
 
    C = mldivide(A,B) is called for the syntax 'A \ B' when A or B is an
    object.


invY=inv(X)返回方阵X的逆矩阵,如果X病态或者高度奇异,则会显示警告信息。实际上,很少需要真的把矩阵的逆求出来,常见的使用失误主要出现在求解线性方程组AX=b。一种求解方法为x=inv(A)*b,但如要达到更快,更稳定,就得用X=A\b这个算法使用高斯消去法,因此不产生逆矩阵。

“\”:反斜线符号,矩阵左除。如果A是方阵,A\B近似等于inv(A)*B,只是他们的算法不一样。如果An*n的方阵,Bn*1的列向量,或n*?的矩阵,那么X=A\BAX=B的解。如果A很病态或者很奇异,很会显示警告信息。A\EYE(SIZE(A))计算A的逆,参见mldivide可得到更多信息。如果Am*n的矩阵,m!=nBm*1m*?的列向量,那么X=A\B就是线性方程组AX=B(超定或者欠定)的最小二乘解。A的有效秩(effective rankk有选主元的QR分解决定。Asolution X is computed that has at most k nonzero componentspercolumn。如果K,结果通常和pinv(A)*B不一样,后者是最小范数解。A\EYE(SIZE(A))用来求解A的广义逆。

mldivide(A,B):等价于A\BAB必须有一样多的行,除非A是个标量(这时就等于.\)。如果A是个方阵,A\B近似等于inv(A)*B,只是两者算法不一样。如果Am*n的矩阵,那么X=A\B求解AX=B(超定或欠定)的最小二乘解,即(AX-B)的范数极小。


<think>好的,我现在需要回答用户如何在MATLAB中解N×N矩阵矩阵,并写出对应的代码。首先,我需要回顾MATLAB中相关的函数和操作步骤。 用户之前已经询问过关于`ans`的问题,现在转向矩阵,可能是在进行数值计算或线性代数方面的学习。我需要确保回答准确且易于理解,特别是针对可能有不同背景的用户。 首先,MATLAB中矩阵的主要函数是`inv()`。基本用法是将矩阵作为参数传入,例如`inv(A)`。但需要注意,矩阵必须是非奇异的,即行列式不为零,否则会得到错误或不可靠的结果。 接下来,我需要考虑用户提到的N×N矩阵,这意味着矩阵是方阵。MATLAB的`inv`函数确实适用于方阵。为了生成一个N×N的示例矩阵,可以使用诸如`rand(N)`生成随机矩阵,或者用户可能有自己的矩阵数据。 然后,我需要提供代码示例。例如,生成一个3x3的随机矩阵。代码步骤可能包括: 1. 定义矩阵大小N。 2. 生成随机矩阵A。 3. 使用`inv(A)`计算矩阵。 4. 验证结果是否正确,比如计算A乘以矩阵是否接近单位矩阵。 另外,需要提醒用户注意矩阵的条件数,如果矩阵接近奇异,`inv`可能会不准确。在这种情况下,使用`pinv`(伪矩阵)可能更合适,特别是对于病态矩阵。 可能还需要提到其他方法,比如通过解线性方程组来间接,但`inv`函数是最直接的方法。 还需要检查是否有常见的错误情况,例如输入非方阵时MATLAB会报错,这时候需要提示用户确保矩阵为方阵。 最后,要确保代码示例正确,语法正确,并且注释清晰,方便用户理解和修改。</think>在MATLAB中,解$N \times N$矩阵矩阵可使用内置函数`inv()`。以下是具体实现方法及注意事项: --- ### **核心代码** ```matlab % 定义矩阵大小N(例如N=3) N = 3; % 生成一个N×N的随机矩阵A(可替换为实际矩阵) A = rand(N); % 计算矩阵 A_inv = inv(A); % 验证矩阵的正确性(A * A_inv ≈ 单位矩阵) error = norm(A * A_inv - eye(N)); % 计算误差范数 disp(['误差范数:', num2str(error)]); ``` --- ### **关键说明** 1. **函数依赖** - `inv(A)`:直接计算矩阵$A$的矩阵$A^{-1}$。 - 要$A$必须为**方阵**且**非奇异**(行列式非零)。 2. **验证方法** - 通过计算$A \cdot A^{-1}$与单位矩阵的误差范数(理想值为0),验证矩阵的准确性。 3. **替代方案** - **伪矩阵**:若矩阵接近奇异(病态矩阵),使用`pinv(A)`(基于SVD分解)更稳定。 - **手动解**:通过解方程$A \cdot X = I$获取矩阵: ```matlab X = A \ eye(N); % 等效于inv(A) ``` --- ### **注意事项** - **计算效率**:对于大型矩阵(如$N > 1000$),优先考虑分解方法(如LU、QR)替代直接。 - **条件数检查**:计算`cond(A)`评估矩阵性。若条件数接近`1e16`,结果可能不可靠。 - **错误处理**:若矩阵奇异,MATLAB会报错“Matrix is singular to working precision”。 --- ### **示例扩展** ```matlab % 自定义矩阵(替换rand(N)) A = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9]; % 检查是否可 if det(A) ~= 0 A_inv = inv(A); else disp('矩阵不可'); end ``` --- ### **总结** - 使用`inv(A)`可直接解非奇异方阵的矩阵。 - 对病态矩阵高维问题,建议采用数值稳定的替代方法(如`pinv()`或矩阵分解)。
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