酉矩阵

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酉矩阵

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2012-09-06 10:35 1083人阅读 评论(0) 收藏 举报
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    若一n行n列的复数矩阵U满足

    U^\dagger U = UU^\dagger = I_n\,

    其中I_n\,为n阶单位矩阵，U^\dagger \,为U的共轭转置，为酉矩阵(英文: Unitary Matrix, Unitary 是归一或单位的意思)。即，矩阵U为酉矩阵，当且仅当其共轭转置U^\dagger \,为其逆矩阵:

    U^{-1} = U^\dagger \,\;。

    若酉矩阵的元素都是实数，其即为正交矩阵。与正交矩阵G不会改变两个实矢量的内积类似，

    \langle Gx, Gy \rangle = \langle x, y \rangle

    酉矩阵U不改变两个复矢量的内积：

    \langle Ux, Uy \rangle = \langle x, y \rangle

    若U \,为n阶方阵，则下列条件等价：

    1. U \,是酉矩阵
    2. U^\dagger \,是酉矩阵
    3. U \,的列矢量构成内积空间Cn上的一组正交基
    4. U \,的行矢量构成内积空间Cn上的一组正交基

    酉矩阵的特征值都是模为1的复数，即分布在复平面的单位圆上，因此酉矩阵行列式的值也为1。

    酉矩阵是正规矩阵，由谱定理知，酉矩阵U可被分解为

    U = V\Sigma V^*\;

    其中V是酉矩阵，\Sigma是主对角线上元素绝对值为1的对角阵。

    对任意n，所有n阶酉矩阵的集合关于矩阵乘法构成一个群。

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