欧拉函数

欧拉函数直接计算公式

　　欧拉函数的定义: E（N）= (  区间[1,N-1] 中与 N 互质的整数个数).

　　对于 积性函数 F（X*Y），当且仅当 GCD（X，Y）= 1 时， F（X*Y） = F（X）* F（Y）

　　任意整数可因式分解为如下形式：

　　　     其中( p1, p2 ... pk 为质数, ei 为次数 )　 

　　所以

　　　　

　　因为 欧拉函数 E（X）为积性函数， 所以

　　　　 

　　对于    ， 我们知道 因为pi 为质数，所以 [ 1, pi-1 ] 区间的数都与 pi 互质

　　对于 区间[ 1,   ]  ，共有  个数， 因为  只有一个质因子，

　　所以与  约数大于1 的必定包含 质因子   ， 其数量为   

　　

　   所以　　   　

　　又 E（N）为积性函数，所以可得 ：

　　　　

　　又因为       其中( p1, p2 ... pk 为质数, ei 为次数 )　 

　　　　     但是此计算公式，除法过多，所以计算速度较慢

 

　　在程序中利用欧拉函数如下性质，可以快速求出欧拉函数的值 ( P为N的质因子 )

　　　　若(N%P==0 && (N/P)%P==0) 则有:E(N)=E(N/P)*P;

 

　　　　若(N%P==0 && (N/P)%P!=0) 则有:E(N)=E(N/P)*(P-1);

 

直接计算欧拉函数值代码：

View Code 

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
#include<math.h>

typedef long long LL;

LL Eular( LL x )
{
    if( x == 0 ) return 0;    
    LL res = 1, t = x;    
    for(LL i = 2; i <= (LL)sqrt(1.*x); i++)
    {
        if( t%i == 0 )
        {        
            res *= (i-1);    
            t /= i;
            while( t%i ==0 )
            {
                res *= i;    
                t /= i;
            }
        }
        if( t == 1 ) break;    
    }
    if( t > 1 ) { res *= (t-1); }
    return res;    
}
int main()
{
    LL x;
    while( scanf("%lld", &x) != EOF)
        printf("%lld\n", Eular(x) );    
    return 0;
}

 

 

关于欧拉函数其他的证明方式：

　　证明过程如下：

　　1. 容易想到：当n为素数时，PHI(n) = n - 1。因为每个比n小的正整数都和n互素。

当n为素数p的k次方时，PHI(n) = p ^ k - p ^ (k - 1)。因为在1到n之间的正整数只有p的倍数和n不互素，这样的数有(p ^ k / p)个。

　　

　　2. 如果m和n互素，即GCD(m, n) = 1，那么PHI(m * n) = PHI(m) * PHI(n)。

用中国剩余定理可以证明，证明的思路是建立这样一种一一对应的关系(a, b) <-> x，其中正整数a小于m并且gcd(a, m) = 1，正整数b小于n并且gcd(b, n) = 1，正整数x小于m*n并且gcd(m*n, x) = 1。证明过程如下：

   　　 1)根据中国剩余定理，如果m和n互素，那么关于未知量x的方程组x % m = a, x % n = b(0 <= a < m, 0 <= b < n)，当0 <= x < m * n时存在并且仅存在一个解。容易证明，如果两个这样的方程组有相同的m, n但是a, b不同，那么他们的解x一定不同。

   　　 2)首先用反正法证明：gcd(m, a) = 1且gcd(n, b) = 1是gcd(m*n, x) = 1的必要条件：假设gcd(a, m) = k > 1，由此可得：a = a' * k; m = m' * k => x = k' * m + a = k' * k * m' + k * a' = k * (k' * m' + a'); 所以gcd(x, m) = k > 1。同理可证，如果gcd(b, n) > 1， 那么gcd(x, n) > 1。所以x和m * n互素的必要条件是a和m互诉且b和n互素。

    　　3)接下来我们证明充分性：由x % m = a 可以得到x = k * m + a；由欧几里德算法求最大公约数的过程（就不证明了，呵呵，还得想）可以知道gcd(x, m) = gcd(m, a) = 1；同理可得，如果gcd(n, b) = 1那么gcd(x, n) = 1。接下来很容易得到：gcd(m*n, x) = 1。从而证明了充分性。

   　　 4)上面三步的结论表明，数对(a, b)是可以和x建立起一一对应的关系的，所以有多少个不同的(a, b)，就有多少个不同的x。

　　

　　3.将n分解成素数乘积后，显然对于任意的i, j(i != j)都满足 pi ^ ki和pj ^ kj是互素的，于是可以的到上面的公式。

 

使用素因子性质预处理出欧拉函数代码：

View Code 

跟据上面的公式，可以得到关于欧拉函数的递推关系：
假设素数p能整除n，那么
如果p还能整除n / p, PHI(n) = PHI(n / p) * p;
如果p不能整除n / p, PHI(n) = PHI(n / p) * (p - 1);

下面的程序是求1到10000之间所有整数的欧拉函数：
char mark[10000] = {0}; 
int prime[1230];
int size = 0;
int phi[10000];

int main () {
    int i, j;

    /*筛法求素数*/
    for (i = 2; i < 10000; i++) {
        if (!mark[i]) prime[size++] = i;

        for (j = 0; j < size && prime[j] * i < 10000; j++) {
            mark[prime[j] * i] = 1;
            if (i % prime[j] == 0) break;
        }
    }
    /*求欧拉函数*/
    phi[1] = 1;
    for (i = 2; i < 10000; i++) {
        if (!mark[i]) {
            phi[i] = i - 1;
            continue;
        }
        for (j = 0; j < size && prime[j] * prime[j] <= i; j++) {
            if (i % prime[j] == 0) {
                if (i / prime[j] % prime[j] == 0)
                    phi[i] = prime[j] * phi[i / prime[j]];
                else
                    phi[i] = (prime[j] - 1) * phi[i / prime[j]];
                break;
            }
        }
    }
    return 0;
}

从别人那里学到的对求欧拉函数部分的优化，使每个数的欧拉函数只由它的最小素因子求出:
    phi[1] = 1;
    for (i = 1; i < 10000; i++) {
        for (j = 0; j < size && prime[j] * i <= 10000; j++) {
            if (i % prime[j] == 0) {
                phi[prime[j] * i] = prime[j] * phi[i];
                break;
            }
            else {
                phi[prime[j] * i] = phi[i] * (prime[j] - 1);
            }
        }
    ｝

 

 

 

用递推的方法来实现欧拉函数

 

　　欧拉函数可以很方便的计算小于某个数N但N互质的数的个数,

　　即M(1<=M<N)且gcd(M, N)=1, M的个数很容易由欧拉函数来计算出来.

　　欧拉函数的表达式为　　E（N）= N*(1-1/f_1)*(1-1/f_2)*(1-1/f_3)....依次类推,

　　其中f_1, f_2, f_3等是N的不相同的质因子.

　　例如 12=2*2*3 那么12有两个不同的质因子2, 3,

　　由欧拉函数可得小于12但与12互质的个数为

　　　　12*(1-1/2)(1-1/3)=4,

　　列举为1, 5, 7, 11.

　　那么在实际实现欧拉函数的时候, 可以把一个数进行质因子分解, 依次代入欧拉函数进行求解. 我们今天介绍一种用欧拉函数自身的递推关系来实现的方法.

 

　　首先介绍这种递推关系, 假设数N有m个不相同的质因子f_1, f_2,f_3....f_m.

　　那么数(N/f_1)有多少个不同的质因子呢?

　　　　 分成两种情况来考虑,

　　　　　　第一种情况, N只包含一个f_1因子, 那么N/f_1有m-1个因子f_2,f_3,...,f_m. 

我们考察N/f_1和N的欧拉函数形式E(N) = N*(1-1/f_1)*(1-1/f_2)*(1-1/f_3)*...*(1-1/f_m)    E(N/f_1) = N/f_1*(1-1/f_2)*(1-1/f_3)*...*(1-1/f_m). 把(1-1/f_1)化为(f_1 - 1)/f_1则可以显然看到E(N) = (f_1 - 1)*E(N/f_1).

　　　　　　第二种情况, N包含一个以上的f_1因子, 那么N/f_1包含了与N相同的质因子个数且此时两者的欧拉函数分别记为

　　E(N) = N*(1-1/f_1)*(1-1/f_2)*(1-1/f_3)*...*(1-1/f_m)    

　　E(N/f_1) = N/f_1*(1-1/f_1)*(1-1/f_2)*(1-1/f_3)*...*(1-1/f_m).

这个递推关系更明显了E(N) = (f_1)*E(N/f_1).

　　 因此这两种递推关系只与质因子f_1有关, 而f_1可以是N的任意一个质因子.

　　用代码来实现时可以取N的最小质因子来简化实现过程.

在实际代码过程可以和搜索质数的"筛子法"相结合, 因为"筛子法"相当于优先找到了每个数的最小质因子.

View Code 

const int size = 1000001;
int factor[size];    //factor[n]记录了n的最小质因子
bool visited[size];   
int phy[size];       //phy[n]记录了与n互质且小于n的个数. 
void getPrime()
{
        memset(factor, -1, sizeof(factor));
        memset(visited, false, sizeof(visited));
        for (int i=2; i<size; i++)
        {
                if (visited[i])
                {
//////////////////////////这部分是递归关系的实现//////////////////////////////
                        int k = i/factor[i];
                        if (k%factor[i] == 0)
                        {
                                phy[i] = phy[k]*factor[i];
                        }else{
                                phy[i] = phy[k]*(factor[i] - 1);
                        }
//////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
                        continue;
                }
                phy[i] = i -1; //i本身是质数, 与i互质的个数为i-1.
                for (int j=i+i; j<size; j+=i)
                {
                        visited[j] = true;
                        if (factor[j] == -1)
                        {
                                factor[j] = i; //用i筛的过程, 就找到了每个以i为最小质因子的数.
                        }
                }
        }