单调栈的介绍以及一些基本性质

本文通过生活实例解释单调栈的概念,详细阐述单调栈的性质、数组角度的阐述及维护方式,帮助读者掌握单调栈的基本操作和应用场景。

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单调栈的定义:

单调栈就是栈内元素单调递增或者单调递减的栈,单调栈只能在栈顶操作。

为了更好的理解单调栈,则可将单调栈用生活情形模拟实现,例如:

我们借用拿号排队的场景来说明下。现在有很多人在排队买可乐,每个人手里都拿着号,越靠前的人手里的号越小,

但是号不一定是连续的。小明拿了号后并没有去排队,而是跑去约会了。等他回来后,发现队伍已经排得很长了,

他不能直接插入到队伍里,不然人家以为他是来插队的。小明只能跑到队伍最后,挨个询问排队人手里的号,

小明认为号比他大的人都是“插队”的,于是小明就会施魔法把这些人变消失,直到小明找到号比他小的为止。

在上面这个场景里,大家排的队伍就像是单调栈,因为大家手里拿的号是单调递增的。

而小明找自己位置的这个过程就是元素加入单调栈的过程。新加入的元素如果加到栈顶后,

如果栈里的元素不再是单调递增了,那么我们就删除加入前的栈顶元素,

就像小明施魔法把“插队”的人变消失一样。直到新元素加入后,栈依然是单调递增时,我们才把元素加进栈里。

(这样做的目的是“维护”单调栈,是单调栈保持原来的单调性不变)

从数组的角度阐述单调栈的性质:

给定一个包含若干个整数的数组,我们从第 1 个元素开始依次加入单调栈里,并且加入后更新单调栈。

那么单调栈有这样的性质:对于单调递增的栈,如果此时栈顶元素为 b,加入新元素 a 后进行更新时,

如果 a 大于 b,说明 a 在数组里不能再往左扩展了(由于单调栈的单调递增性质,b前面的元素均小于a),

也就是说,如果从 a 在数组中的位置开始往左边遍历,则 a 一定是第一个比 b 大的元素;

如果 a 小于 b,说明在数组里,a 前面至少有一个元素不能扩展到 a 的位置(至少有b元素,因为b的值要大于a,如果此时再加入新的

a,那么单调栈便不再单调,所以元素a此时不能压入栈顶,因为这并不是元素a"应该"在的位置,只有当元素a找到自己的位置时

元素a方能压入栈中,而这样做的前提是不改变单调栈的单调性),也就是对于这些元素来说,a 是其在数组右侧第一个比它小的元素。

单调栈的维护是 O(n) 级的时间复杂度,因为所有元素只会进入栈一次,并且出栈后再也不会进栈了。

单调栈的性质:

1.单调栈里的元素具有单调性

2.元素加入栈前,会在栈顶端把破坏栈单调性的元素都删除

3.使用单调栈可以找到元素向左遍历第一个比他小的元素,也可以找到元素向左遍历第一个比他大的元素。

对于第三条性质的解释(最常用的性质):

对于单调栈的第三条性质,你可能会产生疑问,为什么使用单调栈可以找到元素向左遍历第一个比他大的元素,

而不是最后一个比他大的元素呢?我们可以从单调栈中元素的单调性来解释这个问题,由于单调栈中的元素只能是单调递增或者是单调

递减的,所以我们可以分别讨论这两种情况(假设不存在两个相同的元素):

1.当单调栈中的元素是单调递增的时候,根据上面我们从数组的角度阐述单调栈的性质的叙述,可以得出:

(1).当a > b 时,则将元素a插入栈顶,新的栈顶则为a

(2).当a < b 时,则将从当前栈顶位置向前查找(边查找,栈顶元素边出栈),直到找到第一个比a小的数,停止查找,将元素a

插入栈顶(在当前找到的数之后,即此时元素a找到了自己的“位置”)

2.当单调栈中的元素是单调递减的时候,则有:

(1).当a < b 时,则将元素a插入栈顶,新的栈顶则为a

(2).当a > b 时,则将从当前栈顶位置向前查找(边查找,栈顶元素边出栈),直到找到第一个比a大的数,停止查找,将元素a

插入栈顶(在当前找到的数之后,即此时元素a找到了自己的“位置”)


如有错误,还请指正,O(∩_∩)O谢谢




<think>首先,用户的问题是关于“排列中单调栈性质和应用场景”。我需要基于提供的引用和系统指令来回答。 回顾系统指令: - 所有行内数学表达式用 `$...$` 格式。 - 独立公式用 `$$...$$` 格式并单独成段。 - LaTeX 语法必须正确。 - 使用中文回答。 - 生成相关问题。 - 在回答中引用的段落末尾自然地添加引用标识,例如 `[^1]`。 - 回答结构清晰,帮助用户逐步解决问题。 - 参考站内引用:用户提供了几个引用,我需要引用它们。 提供的引用: - [^1]: 单调栈基本思想是,当元素入时,它会与内的元素进行比较,将不满足单调性要求的元素弹出,以确保内的元素保持单调性。这样做的好处是在 O(n) 的时间复杂度内,可以高效地找到每个元素的下一个较大或较小的元素,而无需遍历整个数组。 - [^2]: 单调栈应用介绍单调栈具有以下特性:新元素加入顶时,需要进行单调性维护,弹出不满足单调性的顶元素;当前解计算是在出的时候进行的。应用场景包括下一个最大元素(对应单调递减)、下一个最小元素(对应单调递增)、上一个最大元素(反向入,对应单调递减)、上一个最小元素(反向入,对应单调递增)。 - [^3]: 一个例子,用双端队列解决类似单调栈的问题。 - [^4]: 深入理解单调栈算法,利用单调栈可以简化算法,提高效率。需要判断问题是否适用单调栈。 - [^5]: 理解为什么能用单调栈:将 O(n^2) 算法优化为 O(n) 算法,通过数据结构保持尚未更新的位置下标,内元素单调。 用户的问题聚焦在“排列中单调栈性质”。排列可能指的是序列或数组,所以我需要解释在数组或序列上下文中单调栈性质和应用。 关键点: - **性质**:单调栈的核心性质是维护一个单调递增或递减的。元素入时,弹出破坏单调性的元素,确保内元素单调。 - **时间复杂度**:O(n),因为每个元素最多入和出一次。 - **应用场景**:常见于寻找下一个更大元素(Next Greater Element)、下一个更小元素、上一个更大元素等。 在排列(数组)中,单调栈常用于: - 找到每个元素的下一个更大元素(NGE)。 - 找到每个元素的上一个更大元素(PGE)。 - 计算最大矩形面积等。 基于引用: - [^1] 解释了基本思想和时间复杂度。 - [^2] 详细描述了特性和应用场景。 - [^5] 解释了逻辑:优化时间复杂度,内元素单调。 我的回答结构: 1. **介绍单调栈性质**:逐步解释在排列(数组)中单调栈如何工作。 - 使用中文。 - 包括行内数学表达式,例如时间复杂度 $O(n)$。 - 引用相关部分。 2. **讨论应用场景**:列出常见应用,并举例。 3. **生成相关问题**:在最后添加相关问题部分。 4. **添加引用标识**:在引用内容的末尾自然添加。 确保 LaTeX 正确: - 行内:`$O(n)$` - 独立公式:如果需要,但这里可能不需要复杂的公式,除非有方程。 回答步骤: - 步骤1:定义单调栈及其基本性质。 - 步骤2:解释在排列中的具体性质。 - 步骤3:描述应用场景。 - 步骤4:总结。 相关问题: - 基于主题,生成 3-4 个问题,如: 1. 如何在数组中实现单调栈? 2. 单调栈在解决最大矩形问题中的应用? 3. 单调栈与双指针法的区别? 最后,添加引用标识。</think>### 排列中单调栈性质与应用场景 单调栈是一种高效的数据结构,特别适用于处理数组或序列(即“排列”)中的问题。它通过维护内元素的单调性,能在 $O(n)$ 时间复杂度内解决许多需要遍历的问题。下面我将逐步解释单调栈在排列中的核心性质和应用场景,确保回答清晰可靠。内容基于相关引用,并在引用段落末尾添加标识。 #### 1. **单调栈在排列中的基本性质** - **单调性维护**:单调栈的核心性质是保持内元素的单调递增或递减顺序。当新元素入时,它会与顶元素比较:如果不满足单调性(例如,在单调递增中新元素小于顶元素,或在单调递减中新元素大于顶元素),则弹出顶元素,直到恢复单调性。这一过程确保了内元素始终有序[^1]。 - 例如,在单调递减中处理数组 $[5, 3, 8, 2]$ 时: - 元素 5 入:$[5]$)。 - 元素 3 入(3 < 5,保持:$[5, 3]$)。 - 元素 8 入时,8 > 3 和 8 > 5,弹出 3 和 5(变为空),然后 8 入:$[8]$)。 - 元素 2 入(2 < 8,保持:$[8, 2]$)。 - 这一过程在 $O(n)$ 时间内完成,因为每个元素最多入和出一次。 - **时间复杂度优势**:单调栈将许多 $O(n^2)$ 的暴力搜索优化为 $O(n)$,这得益于它“被动”更新答案:存储尚未更新答案的元素下标,新元素入时触发计算,避免了重复遍历[^5]。 - **内元素特性**:在排列中,单调栈的元素通常是数组下标(而非值),这便于直接访问原数组位置。的单调性直接关联问题的解,例如在寻找“下一个更大元素”时,内元素下标对应值单调递减[^2]。 #### 2. **应用场景** 单调栈在排列问题中应用广泛,主要针对元素间大小关系的查询。以下是常见场景: - **寻找下一个更大/更小元素**(Next Greater/Smaller Element): - 单调递减用于找“下一个更大元素”(NGE)。例如,给定数组 $[2, 1, 4, 3]$,使用单调递减可高效计算每个元素的 NGE:2 的 NGE 是 4,1 的 NGE 是 4,4 的 NGE 是 null,3 的 NGE 是 null[^2]。 - 单调递增用于找“下一个更小元素”(NSE)。这在股票分析或序列预测中常见。 - **寻找上一个更大/更小元素**(Previous Greater/Smaller Element): - 通过反向遍历数组(即从尾部开始),单调递减可找“上一个更大元素”(PGE),单调递增可找“上一个更小元素”(PSE)。例如,在数组 $[3, 1, 4, 2]$ 中,反向遍历使用单调递减,元素 4 的 PGE 是 null,元素 2 的 PGE 是 4[^2]。 - **最大矩形面积问题**:在二维排列(如柱状图)中,单调栈用于计算最大矩形。例如,LeetCode 84题“柱状图中最大的矩形”,通过维护单调递增,在 $O(n)$ 时间内求解每个柱子能扩展的最大宽度[^4]。 - **其他优化问题**:如找子数组最小值/最大值、滑动窗口极值(可用双端队列模拟单调栈)[^3]。单调栈简化了算法逻辑,提升了效率,特别适合数据流或实时处理场景[^4]。 #### 3. **为什么单调栈适用于排列问题?** - 排列(数组)的元素具有顺序性,单调栈利用这一特性,通过一次遍历“记忆”历史元素,避免了嵌套循环。例如,在找 NGE 时,存储了可能成为后续元素“更大候选”的下标,新元素入时直接比较并更新答案[^5]。这种设计在算法竞赛和工程中广泛使用,因为它将问题逻辑从主动搜索转为被动响应[^4]。 总之,单调栈在排列中的性质核心是单调性维护和 $O(n)$ 时间复杂度,应用场景集中在元素间大小关系查询。通过合理选择单调递增或递减,并结合正向/反向遍历,能高效解决多种问题。
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