codeforces 1117D 推递推式加矩阵快速幂

一个很显然的计数想法,令b=m-1,ans=C(n,0)+C(n-b,1)+C(n-2b,2).....然后就是无限的挂机了,E也不会,G也不会,F比G过的还少根本没看题,还好C题做的不算慢而且都是1A,所以小号分数超过大号了233。

看了一个成都七中的oi选手在B站上上传的录屏,他当时通过m=2,m=3,m=4的数值情况丢到oeis上去然后找到了递推式的规律,学到了orz...

对于一个相同的m,我们令a[n]=C(n,0)+C(n-b,1)+C(n-2b,2).....

a[n-b]=C(n-b,0)+C(n-2b,1)+C(n-3b,2)......

由于C(n-b,0)+C(n-b,1)=C(n-b+1,1);

a[n]+a[n-b]=C(n,0)+C(n-b+1,1)+C(n-2b+1,2)=C(n+1,0)+C(n+1-b,1)+C(n+1-2b,2)=a[n+1]

那么就可以用矩阵快速幂加速递推搞一下就行了

#include<bits/stdc++.h>
#define maxl 110
#define mod 1000000007

using namespace std;

long long n,m;
struct matrix
{
	long long r,c;
	long long a[maxl][maxl];
	matrix()
	{
		memset(a,0,sizeof(a));
	}
	friend matrix operator * (const matrix x,const matrix y)
	{
		matrix c;
		c.r=x.r;c.c=y.c;//x.c=y.r
		for(int i=1;i<=c.r;i++)
			for(int j=1;j<=c.c;j++)
				for(int k=1;k<=x.c;k++)
					c.a[i][j]=(c.a[i][j]+1ll*x.a[i][k]*y.a[k][j]%mod)%mod;
		return c;
	}
}ini,f,ans;

inline void prework()
{
	scanf("%lld%lld",&n,&m);
	ini.r=m;ini.c=1;
	ini.a[1][1]=2;
	for(int i=m;i>=2;i--)
		ini.a[i][1]=1;
}

inline matrix qp(matrix a,long long b)
{
	matrix ans,cnt=a;
	ans.r=m;ans.c=m;
	for(int i=1;i<=m;i++)
		ans.a[i][i]=1;
	while(b)
	{
		if(b&1)
			ans=ans*cnt;
		cnt=cnt*cnt;
		b>>=1;
	}
	return ans;
}

inline void mainwork()
{
	if(n<=m)
	{
		ans.a[1][1]=ini.a[m-n+1][1];
		return;
	}
	f.r=m;f.c=m;
	f.a[1][1]=1;f.a[1][m]=1;
	for(int i=2;i<=m;i++)
		f.a[i][i-1]=1;
	ans=qp(f,n-m)*ini;
}

inline void print()
{
	printf("%lld",ans.a[1][1]);
}

int main()
{
	prework();
	mainwork();
	print();
	return 0;
}

 

### Codeforces 平台上的快速幂算法题目及相关实现 #### 快速幂算法简介 快速幂是一种高效的计算 $a^b \mod c$ 的算法,其时间复杂度为 $O(\log b)$。通过将指数分解成二进制形并利用平方倍增的方减少乘法次数来提高效率。 --- #### 题目解析与实现方法 以下是两道来自 Codeforces 平台上涉及快速幂的经典题目及其解决方案: --- ##### **题目一:Codeforces 1594B** 这是一道典型的快速幂应用题,目标是找到第 $k$ 个以 $n$ 为底的幂底数累的结果[^1]。 ###### 解决方案 给定整数 $n$ 和 $k$,我们需要按照 $k$ 的二进制表示逐位判断哪些位置对应的幂需要被入最终结果中。具体实现如下: ```cpp #include <iostream> #define ll long long using namespace std; const int MOD = 1e9 + 7; int main() { int t; cin >> t; while (t--) { ll n, k; cin >> n >> k; ll ans = 0, s = 1; // 初始化答案和当前幂值 while (k != 0) { if (k & 1) { // 如果当前位为1,则上对应幂值 ans = (ans + s) % MOD; } s = s * n % MOD; // 更新幂值 k >>= 1; // 右移一位 } cout << ans << endl; } return 0; } ``` 此代码的核心在于使用 `while` 循环逐步处理 $k$ 的每一位,并根据是否为 $1$ 来决定是否将其对应的幂值入到总和中。 --- ##### **题目二:CodeForces - 894B Ralph And His Magic Field** 本题同样涉及到快速幂的应用,但更侧重于组合数学中的计数问题[^2]。 ###### 解决方案 对于输入的三个参数 $n$, $m$, 和 $k$,我们可以通过快速幂函数高效地求解 $(2^{(n-1)})^{(m-1)} \mod INF$ 的值。如果 $k=-1$ 且 $(n+m)\%2\neq0$,则直接返回 $0$;否则继续执行快速幂逻辑。 ```cpp #include <iostream> using namespace std; const long long INF = 1e9 + 7; long long fast_pow(long long base, long long exp) { long long result = 1; base %= INF; while (exp > 0) { if (exp & 1) { result = (result * base) % INF; } base = (base * base) % INF; exp >>= 1; } return result; } int main() { long long n, m, k; cin >> n >> m >> k; if (k == -1 && (n + m) % 2 != 0) { cout << "0" << endl; return 0; } cout << fast_pow(fast_pow(2, n - 1), m - 1) << endl; return 0; } ``` 这段程序定义了一个通用的快速幂辅助函数 `fast_pow`,用于简化主流程中的幂运算部分[^2]。 --- #### 总结 以上两个例子展示了如何在不同场景下灵活运用快速幂技术解决问题。无论是简单的累还是复杂的嵌套幂运算,都可以借助这一技巧显著提升性能。 ---
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