本文详细介绍了直接最小二乘法如何应用于椭圆拟合，包括椭圆方程、优化目标、拉格朗日函数的构建，并提供了两种不同的Matlab算法实现。同时讨论了早期的直接拟合法及其筛选符合要求的特征向量的方法，确保拟合结果为真正的椭圆。
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直接最小二乘法拟合椭圆
利用最小二乘算法构造方程，使用拉格朗日乘子进行求解
椭圆方程
A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0 Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0
优化目标
令 W = [ A , B , C , D , E , F ] ⊤ W=\left[A,B,C,D,E,F\right]^\top W=[A,B,C,D,E,F]⊤， X = [ x 2 , x y , y 2 , x , y , 1 ] ⊤ X=\left[x^2,xy,y^2,x,y,1\right]^\top X=[x2,xy,y2,x,y,1]⊤，则优化目标为
min ∥ W ⊤ X ∥ 2 = W ⊤ X X ⊤ W s . t . W ⊤ H W > 0 \min\left\|{W^\top X }\right\|^2 =W^\top X X^\top W\\ s.t. \quad W^\top H W>0 min∥∥W⊤X∥∥2=W⊤XX⊤Ws.t.W⊤HW>0
其中 H = [ 0 0 2 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ] H = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} H=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡0020000−10000200000000000000000000000⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤
W ⊤ H W > 0 \quad W^\top H W>0 W⊤HW>0是椭圆参数约束 4 A C − B 2 > 0 4AC-B^2>0 4AC−B2>0
由于 ∥ W ⊤ X ∥ 2 = 0 \left\|{W^\top X }\right\|^2=0 ∥∥W⊤X∥∥2
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