AI 高手之路 2：微积分基础——导数、梯度和优化

目录：

1. 引言：为什么微积分在 AI 中不可或缺？
2. 导数：函数变化的“速度表”
   • 2.1 导数的定义和几何意义
   • 2.2 常见函数的导数
   • 2.3 导数计算法则：加法、减法、乘法、除法、链式法则
   • 2.4 高阶导数
3. 偏导数：多变量函数的“分头行动”
   • 3.1 偏导数的定义
   • 3.2 几何意义：函数在各个坐标轴方向上的变化率
   • 3.3 高阶偏导数
4. 梯度：函数上升最快的“方向盘”
   • 4.1 梯度的定义
   • 4.2 梯度与方向导数
   • 4.3 梯度的性质
5. 泰勒展开：函数的“近似放大镜”
   • 5.1 泰勒公式
   • 5.2 泰勒展开的应用：函数近似、优化
6. 微积分在 AI 中的应用
   • 6.1 梯度下降法：寻找函数的最小值
   • 6.2 反向传播算法：训练神经网络
   • 6.3 牛顿法、拟牛顿法：更快的优化算法
   • 6.4 最大似然估计：参数估计
7. Python 实战：使用 SymPy 进行符号计算
8. 总结与下一步
9. 挑战任务

大家好！欢迎来到“AI 高手之路”系列的第二篇。继线性代数之后，我们将继续探索 AI 的另一块数学基石——微积分。

1. 引言：为什么微积分在 AI 中不可或缺？

如果说线性代数是 AI 的骨骼，那么微积分就是 AI 的肌肉。如果把一个AI模型比作一辆汽车，线性代数构建车身，微积分则提供让汽车动起来的引擎。

为什么这么说呢？

AI 模型的核心任务之一，是从数据中学习规律。这个“学习”的过程，本质上是一个“优化”的过程：我们需要找到一组模型参数，使得模型能够最好地拟合数据，或者最小化预测误差。

而微积分，正是研究函数变化规律的数学工具。它提供了导数、梯度等概念，帮助我们找到函数的极值点（最大值或最小值）。在 AI 中，这意味着我们可以通过微积分来找到最优的模型参数。

2. 导数：函数变化的“速度表”

2.1 导数的定义和几何意义

• 定义: 对于一个一元函数 $f(x)$，它在点 $x_0$ 处的导数定义为：

  $$f^{\prime }(x_0)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$

  如果这个极限存在，则称函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，$f^{\prime }(x_0)$ 就是导数。

• 几何意义: 导数 $f^{\prime }(x0)$ 表示函数 f(x) 在 $x_0$ 处的切线斜率。

从上图可以看出导数是函数f(x)在x0处附近变化情况的反应。

2.2 常见函数的导数

• 常数函数：$f(x)=c,f^{\prime }(x)=0$
• 幂函数：$f(x)=x^n,f^{\prime }(x)=n{x}^{(}n-1)$
• 指数函数：$f(x)=a^x,f^{\prime }(x)=a^x\ast ln(a)$ (特例：$f(x)=e^x,f^{\prime }(x)=e^x$)
• 对数函数：$f(x)=lo{g}_a(x)$, $f^{\prime }(x)=1/(x\ast ln(a))$ (特例：$f(x)=ln(x),f^{\prime }(x)=1/x$)
• 三角函数：$f(x)=sin(x),f^{\prime }(x)=cos(x);f(x)=cos(x),f^{\prime }(x)=-sin(x)$

2.3 导数计算法则

• 加法/减法法则: $(f(x)\pm g(x){)}^{\prime }=f^{\prime }(x)\pm g^{\prime }(x)$
• 乘法法则: $(f(x)\ast g(x){)}^{\prime }=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)$
• 除法法则:$(f(x)/g(x){)}^{\prime }=(f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x))/(g(x){)}^2$
• 链式法则: $如果y=f(u)且u=g(x)，则dy/dx=dy/du\ast du/dx$

2.4 高阶导数

对导数再次求导，得到二阶导数 $f^{\prime \prime }(x)$；对二阶导数再次求导，得到三阶导数 $f^{\prime \prime \prime }(x)$，以此类推。

3. 偏导数：多变量函数的“分头行动”

3.1 偏导数的定义

对于一个多变量函数 $f(x_1,x_2,...,x_n)$，它对变量 xi 的偏导数定义为：

$$\partial f/\partial x_i=lim(h->0)[f(x_1,...,x_i+h,...)-f(x_1,...,x_i,...)]/h$$

即，在计算偏导数时，将其他变量视为常数，只对 $x_i$ 求导。

3.2 几何意义

偏导数 $\partial f/\partial xi$ 表示函数 f 在 xi 轴方向上的变化率。

3.3 高阶偏导数

对偏导数再次求偏导，得到高阶偏导数。例如：

• 二阶偏导数：${\partial }^{2}f/\partial x_i^2$ (对 $x_i$ 求两次偏导), ${\partial }^{2}f/\partial xi\partial xj$ (先对 $x_i$ 求偏导，再对 $x_j$ 求偏导)
• 混合偏导数：如果函数足够光滑，则混合偏导数的求导顺序可以交换，即 ${\partial }^{2}f/\partial x_i\partial x_j={\partial }^{2}f/\partial x_j\partial x_i$

4. 梯度：函数上升最快的“方向盘”

4.1 梯度的定义

对于一个多变量函数 $f(x_1,x_2,...,x_n)$，它的梯度是一个向量，由所有偏导数组成：

$\nabla f=[\partial f/\partial x_1,\partial f/\partial x_2,...,\partial f/\partial x_n]$

4.2 梯度与方向导数

• 方向导数: 函数 $f$ 在点 $(x_1,x_2,...,x_n)$ 处沿着方向 $u$ (单位向量) 的变化率。
• 梯度的重要性: 梯度方向是函数值上升最快的方向，梯度的模是函数值上升的最大速率。

4.3 梯度的性质

• 梯度的方向与等高线（面）垂直。
• 梯度的模越大，函数值变化越快。

5. 泰勒展开：函数的“近似放大镜”

5.1 泰勒公式

泰勒公式可以将一个在点 x0 处具有 n 阶导数的函数 f(x) 展开成一个多项式：

$$f(x)\approx f(x0)+f^{\prime }(x0)(x-x0)+(1/2!)f^{\prime \prime }(x0)(x-x0{)}^2+...+(1/n!)f^{(}n)(x0)(x-x0{)}^n+Rn(x)$

其中 $Rn(x)$ 是余项，表示近似误差。

5.2 泰勒展开的应用

• 函数近似: 当 $x$ 接近 $x_0$ 时，可以用泰勒多项式近似函数值。
• 优化: 泰勒展开可以用于推导优化算法，例如牛顿法。

6. 微积分在 AI 中的应用

6.1 梯度下降法：寻找函数的最小值

• 原理: 沿着梯度的负方向迭代更新参数，逐步逼近函数的最小值。
• 更新公式: $x(t+1)=x(t)-\alpha \nabla f(x(t))$，其中 α 是学习率（步长）。
• 变种: 批量梯度下降 (BGD)、随机梯度下降 (SGD)、小批量梯度下降 (MBGD)、动量法、Adam 等。

6.2 反向传播算法：训练神经网络

• 原理: 利用链式法则，从输出层到输入层，逐层计算损失函数对每个参数的梯度，然后使用梯度下降法更新参数。
• 核心: 高效计算梯度。

6.3 牛顿法、拟牛顿法：更快的优化算法

• 牛顿法: 利用二阶导数（Hessian 矩阵）加速收敛。
• 拟牛顿法: 通过近似 Hessian 矩阵来避免计算二阶导数。

6.4 最大似然估计：参数估计

• 原理: 找到一组参数，使得观测数据出现的概率最大。
• 方法: 通常取对数似然函数，然后求导数或梯度，令其为 0，解方程得到参数估计值。

7. Python 实战：使用 SymPy 进行符号计算

SymPy 是 Python 的一个符号计算库，可以进行公式推导、求导、积分等。

import sympy as sp

# 定义符号变量
x, y = sp.symbols('x y')

# 定义函数
f = x**2 + sp.sin(y)

# 计算偏导数
df_dx = sp.diff(f, x)      # 对x求偏导
df_dy = sp.diff(f, y)      # 对y求偏导
print(f"∂f/∂x = {df_dx}")  # 输出：∂f/∂x = 2*x
print(f"∂f/∂y = {df_dy}")  # 输出：∂f/∂y = cos(y)

# 计算混合偏导数
df_dxdy = sp.diff(f, x, y)
print(f"∂²f/∂x∂y = {df_dxdy}")  # 输出：∂²f/∂x∂y = 0

# 计算梯度
gradient = [sp.diff(f, var) for var in (x, y)]
print(f"∇f = [{gradient[0]}, {gradient[1]}]")  # 输出：∇f = [2*x, cos(y)]

# 在x=0处进行泰勒展开
taylor = f.series(x, 0, 4).removeO()
print(f"泰勒展开(x=0):\n{taylor}")

代码解释：
这段代码演示了SymPy库求导数和偏导数。sp.symbols('x y') 定义了符号变量。sp.diff(f, x)计算 f 关于 x 的导数。sp.diff(f, x, y)计算f先关于x再关于y的偏导数。

8. 总结与下一步

在本篇博文中，我们学习了微积分的基础知识，包括导数、偏导数、梯度、泰勒展开等，并了解了它们在 AI 中的应用，特别是梯度下降法和反向传播算法。我们还使用 SymPy 进行了简单的符号计算。

掌握微积分是理解 AI 模型训练原理的关键。在接下来的挑战中，我们将学习概率统计、优化算法等更多 AI 相关的数学知识，并逐步深入机器学习和深度学习的核心算法。

9. 挑战任务

1. 复习: 回顾本篇博文中的所有概念。
2. 推导:
   • 手动推导常见函数的导数。
   • 推导链式法则。
   • 推导梯度下降法的更新公式。
3. 计算:
   • 计算一些复杂函数的导数和偏导数。
   • 计算一些函数在给定点的梯度。
   • 手动计算一个简单函数的泰勒展开。
4. SymPy 练习:
   • 使用 SymPy 计算更复杂的导数、偏导数、梯度和泰勒展开。
   • 尝试使用 SymPy 求解方程。
5. 思考题:
   • 梯度下降法有哪些局限性？如何改进？
   • 反向传播算法是如何工作的？
   • 牛顿法和梯度下降法有什么区别？
   • 最大似然估计和最小二乘法有什么关系？
6. 阅读材料： 阅读《Calculus》by James Stewart 的 differentiation rules 章节.

希望这篇博文能帮助你更好地掌握微积分基础！如果你有任何问题或建议，请随时在评论区留言。让我们继续 AI 学习之旅！