编程之美 买票找零 卡特兰数

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http://www.jtben.com/document/1250265

题目描述：

假设有2N个人在排队买票，其中有N个人手持50元的钞票，另外有N个人手持100元的钞票，假设开始售票时，售票处没有零钱，问这2N个人有多少种排队方式，不至使售票处出现找不开钱的局面？

题目分析：

这题时典型的卡特兰数（Cartalan）问题

最典型的四类应用（实质上却都一样，无非是递归等式的应用，就看你能不能分解问题写出递归式了）
1.括号化问题。
矩阵链乘： P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？(h(n)种)
2.出栈次序问题。
一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列?
类似：有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈)

3.将多边行划分为三角形问题。
将一个凸多边形区域分成三角形区域的方法数?
类似：一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果她
从不穿越（但可以碰到）从家到办公室的对角线，那么有多少条可能的道路？
类似：在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数? 
4.给顶节点组成二叉树的问题。
给定N个节点，能构成多少种形状不同的二叉树？
(一定是二叉树!
先去一个点作为顶点,然后左边依次可以取0至N-1个相对应的,右边是N-1到0个,两两配对相乘,就是h(0)*h(n-1) + h(2)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0)=h(n))
（能构成h（N）个）

Cartalan数

令h(1)=1

h(n) = h(1)*h(n-1) + h(2)*h(n-2) + h(3)*h(n-3) + ....+h(n-1)*h(1)  (其中n>=2)

该递归求解为h(n) = C(2n, n)/(n+1)

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Catalan数

中文:卡特兰数
原理：
令h(1)＝1,catalan数满足递归式：
h(n)= h(1)*h(n-1) + h(2)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(1) (其中n>=2)
另类递归式：
h(n)=((4*n-6)/(n))*h(n-1);
该递推关系的解为：
h(n)=C(2n,n)/(n + 1) (n=1,2,3,...)

最典型的四类应用（实质上却都一样，无非是递归等式的应用，就看你能不能分解问题写出递归式了）
1.括号化问题。
矩阵链乘： P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？(h(n)种)
2.出栈次序问题。
一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列?
类似：有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈)

3.将多边行划分为三角形问题。
将一个凸多边形区域分成三角形区域的方法数?
类似：一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果她
从不穿越（但可以碰到）从家到办公室的对角线，那么有多少条可能的道路？
类似：在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数? 
4.给顶节点组成二叉树的问题。
给定N个节点，能构成多少种形状不同的二叉树？
(一定是二叉树!
先去一个点作为顶点,然后左边依次可以取0至N-1个相对应的,右边是N-1到0个,两两配对相乘,就是h(0)*h(n-1) + h(2)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0)=h(n))
（能构成h（N）个）

一.Cn= 长度为 2n的 Dyck words的数量。 Dyck words是由 n个 X和 n个 Y组成的字符串，并且从左往右数， Y的数量不超过 X，例如长度为 6的 Dyck words为：

XXXYYY XYXXYY XYXYXY XXYYXY XXYXYY 

二.Cn= n对括号正确匹配组成的字符串数，例如 3对括号能够组成：

((())) ()(()) ()()() (())() (()())

三.Cn= n+1个数相乘，所有的括号方案数。例如， 4个数相乘的括号方案为(设4个数分别为1,2,3,4，在第k，k+1个数处被分割（其中k = 1,2,3），则h(4) = h(1)*h(3) + h(2)*h(2)+ h(3)*h(1))：

  
((ab)c)d (a(bc))d (ab)(cd) a((bc)d) a(b(cd))

四.Cn= 拥有 n+1 个叶子节点的二叉树的数量。例如 4个叶子节点的所有二叉树形态（因为有4个叶子节点，则在二叉树中肯定有3个父节点，如果我们确定了父节点，就可以确定叶子节点形态了，所以问题转化为求父节点的形态种类，所以转化为求h(3)）：

五.Cn=n*n的方格地图中，从一个角到另外一个角，不跨越对角线的路径数，例如， 4×4方格地图中的路径有(将横向走看做入栈，竖向走看做出栈，则相当于看有多少种入栈、出栈顺序（因为这里不允许跨越对角线，所以相当于只有栈中有元素，才可以出栈，这不就是入栈，出栈问题么）,于是转化为求h(4))：

六.Cn= n+2条边的多边形，能被分割成三角形的方案数，例如 6边型的分割方案有：

七.Cn= 圆桌周围有 2n个人，他们两两握手，但没有交叉的方案数。 (想想1,2,3，。。。，2n环坐，那么假如第1个人和第m个人握手（m = 2,3，。。。2n），那么就将这个环分成了两部分2 ~ m -1的环，m+1 ~ 2n的环，这样就递归到这两个环内部不交叉的方案问题了，事实上，我们应该加强条件，第1个人不能和与他相隔一人的人握手，也就是第1个人不能和3, 2n-1握手，第m个人握手的对象不能是m+2或m-2)