AdaBoost算法

基本常用的几种提升方法

而本次所说的就为AdaBoost方法。

AdaBoost方法基本思想

AdaBoost方法是一种常用的统计学习方法，在分类问题中，它通过改变训练样本权重，学习多个分类器，并将这些分类器进行线性组合，以提高分类性能。实际上，这就是“三个臭皮匠顶个诸葛亮”的道理。

AdaBoost算法

对于提升方法，主要有两个问题：一是在每一轮如何改变训练数据的权值或概率分布；而是如何将弱分类器组合成一个强分类器。这在下面算法中将会介绍。

假定一个二分类数据集
T={(x1,y1),(x2,y2),...,(xN,yN)}T = \{(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_N,y_N)\}T={(x1​,y1​),(x2​,y2​),...,(xN​,yN​)}
其中，实例$x_i\in X\subseteq R^n$，标记yi∈Y={−1,1}y_i \in Y=\{-1,1\}yi​∈Y={−1,1}
算法：
输入：训练数据集T={(x1,y1),(x2,y2),...,(xN,yN)}T = \{(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_N,y_N)\}T={(x1​,y1​),(x2​,y2​),...,(xN​,yN​)}；弱学习算法；
输出：最终分类器$G(x)$.
（1）初始化训练数据的权值分布
$$D_1=(w_{11},...,w_{1i},...,w_{1N}),w_{1i}=\frac{1}{N},i=1,2,...,N$$
（2）对m=1,2,…,M
（a）使用具有权值分布$D_m$的训练数据集学习，得到基本分类器
Gm(x):X→{−1,1}G_m(x) : X \rightarrow \{-1,1\}Gm​(x):X→{−1,1}
（b）计算$G_m(x)$在训练数据集上的分类误差率
$$e_m=P(G_m(x_i)\ne y_i)={\Sigma }_{i=1}^N{w}_{mi}I(G_m(x_i)\ne y_i)$$
（c）计算$G_m(x)$的系数
$${\alpha }_m=\frac{1}{2}log\frac{1-e_m}{e_m}$$
这里对数为自然对数
（d）更新训练数据集的权值分布
$$\begin{gathered} D_{m+1}=(w_{m+1,1},...,w_{m+1,i},...,w_{m+1,N}) \\ {w}_{m+1,i}=\frac{w_{mi}}{Z_m}exp(-{\alpha }_m{y}_i{G}_m(x_i)),i=1,2,...,N \end{gathered}$$
这里$Z_m$为规范化因子
$$Z_m={\Sigma }_{i=1}^N{w}_{mi}exp(-{\alpha }_m{y}_i{G}_m(x))$$
它使$D_{m+1}$成为一个概率分布。
（3）构建基本分类器线性组合
$$f(x)={\Sigma }_{m=1}^M{\alpha }_m{G}_m(x)$$
得到最终分类器
$$G(x)=sign(f(x))=sign({\Sigma }_{m=1}^M{\alpha }_m{G}_m(x))$$

算法说明：
步骤（1）中，首先假设训练数据集具有均匀分布的权值，即每个训练样本在基本分类器的学习中作用相同。
步骤（2）AdaBoost反复学习基本分类器，在每一轮m=1,2,…,M顺序执行下列操作：
（a）使用当前分布$D_m$加权的训练数据集，学习基本分类器$G_m(x)$。
（b）计算基本分类器$G_m(x)$在加权训练集上的分类误差率：
$$e_m=P(G_m(x_i)\ne y_i)={\Sigma }_{G_m(x_i)\ne y_i}{w}_{mi}$$
这里，$w_{mi}$表示第m轮中第i个实例的权值，${\Sigma }_{i=1}^N{w}_{mi}=1.$这表明，$G_m(x)$在加权训练数据集上的分类误差率是被$G_m(x)$误分类样本的权值之和。
（c）计算基本分类器$G_m(x)$的系数${\alpha }_m$。${\alpha }_m表示G_m(x)$在最终分类器中的重要性，当$e_m\le \frac{1}{2}时，{\alpha }_m\ge 0,$并且${\alpha }_m随着e_m$的减小而增大，所以分类误差率越小的基本分类器在最终分类器中的作用越大。
（d）更新训练集权值分布，新一轮权值可写成：
wm+1,i={wmiZmeαm,Gm(xi)≠yiwmiZme−αm,Gm(xi)=yiw_{m+1,i}=\{_{\frac{w_{mi}}{Z_m}e^{\alpha_m},G_m(x_i) \ne y_i}^{\frac{w_{mi}}{Z_m}e^{-\alpha_m}, G_m(x_i) = y_i}wm+1,i​={Zm​wmi​​eαm​,Gm​(xi​)​=yi​Zm​wmi​​e−αm​,Gm​(xi​)=yi​​
由此可知，被基本分类器$G_m(x)$误分类样本的权值得以扩大，而正确分类的样本权值得以缩小。因此，误分类样本将在下一轮学习中起更大作用。
（3）线性组合f(x)实现M个基本分类器的加权表决。系数${\alpha }_m$表示基本分类器$G_m(x)$的重要性，但是所有${\alpha }_m$之和并不等于1.