微积分复习（一）级数

数项级数的基本概念

 数项级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n=u_1+u_2+\cdots +u_n+\cdots$
 级数的部分和（前 $n$ 项和） $S_n=\sum _{i=1}^n{u}_i=u_1+u_2+\cdots +u_n$
 级数的敛散性 若 $\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=S$（常数），则 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=S$ 收敛；若 $\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$ 不存在，则称该级数发散。
 几何级数/等比级数 $\sum _{n=1}^{\infty }a{q}^{n-1}=a+aq+a{q}^2+\cdots +a{q}^{n-1}+\cdots ,a\ne 0$
  $q=1⟹S_n=an⟹\underset{n=1}{\lim }{S}_n=\infty$
  $q=-1⟹\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=a\cdot \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1-(-1{)}^n}{2}\ne S$
  $|q|<1⟹\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=a\cdot \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1-q^n}{1-q}=\frac{a}{1-q}$
  $|q|>1⟹\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=a\cdot \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1-q^n}{1-q}=\infty$
  当 $|q|<1$ 时收敛于 $\frac{a}{1-q}$，当 $|q|\ge 1$ 时发散。
 $p$ 级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^p}=\frac{1}{1^p}+\frac{1}{2^p}+\cdots +\frac{1}{n^p}+\cdots$
  当 $p=1$ 时，调和级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{n}+\cdots$。引入 $f(x)=\frac{1}{x}$，当 $n\le x<n+1$ 时，有 $f(n)\ge f(x)$ 即 $$\frac{1}{n}\ge \frac{1}{x}$$   因此 $$\frac{1}{n}={\int }_n^{n+1}\frac{1}{n}\mathrm{d}x>{\int }_n^{n+1}\frac{1}{x}\mathrm{d}x=\ln (n+1)-\ln n$$   故 $$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\ln (n+1)=\infty$$   该级数发散。
  当 $p<1$ 时，由于 $\frac{1}{n^p}>\frac{1}{n}$，所以$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^p}>\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}$ 发散。
  当 $p>1$ 时，引入 $f(x)=\frac{1}{x^p}$，当 $n<x\le n+1$ 时，有 $f(x)\ge f(n+1)$ 即 $$\frac{1}{x^p}\ge \frac{1}{(n+1{)}^p}$$   因此 $$\frac{1}{(n+1{)}^p}={\int }_n^{n+1}\frac{1}{(n+1{)}^p}\mathrm{d}x<{\int }_n^{n+1}\frac{1}{x^p}\mathrm{d}x$$   故 $$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^p}<1+{\int }_1^{+\infty }\frac{1}{x^p}\mathrm{d}x=1+M$$   该级数收敛。
 性质 1（线性运算法则） 若级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$，$\sum _{n=1}^{\infty }{v}_n$ 分别收敛于常数 $A$ 和 $B$，则对任意常数 $\alpha$ 和 $\beta$，$\sum _{n=1}^{\infty }(\alpha \cdot u_n+\beta \cdot v_n)=\alpha \cdot \sum _{n=1}^{\infty }{u}_n+\beta \cdot \sum _{n=1}^{\infty }{v}_n$ 收敛于 $\alpha \cdot A+\beta \cdot B$。
 性质 2 一个级数改变、去掉或者增加有限项，不改变敛散性。
 性质 3（收敛级数的结合性） 一个收敛级数使用加法结合律任意添加括号，不改变敛散性且其和不变。
 性质 4 若级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$ 收敛，则 $\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=0$。
 推论 若 $\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n\ne 0$ 或不存在，则级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$ 发散。
 柯西（Cauchy）准则/级数收敛的充要条件 $\forall ϵ>0$，$\exists N>0$，当 $n>N$ 时，对于 $\forall p\in {\mathbb{N}}^{+}$ 有 $|u_{n+1}+u_{n+2}+\cdots +u_{n+p}|<ϵ$。
 正项级数收敛的充要条件 部分和 $S_n$ 有上界，即 $\exists M>0$，对于 $\forall n\in {\mathbb{N}}^{+}$ 有 $S_n\le M$。

正项级数收敛性的判别法

 比较判别法 设正项级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$ 和 $\sum _{n=1}^{\infty }{v}_n$ 满足 $u_n\le v_n$ $(n\in {\mathbb{N}}^{+})$，
 （1） 若 $\sum _{n=1}^{\infty }{v}_n$ 收敛，则 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$ 收敛；
 （2） 若 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$ 发散，则 $\sum _{n=1}^{\infty }{v}_n$ 发散。
 推论（比较判别法的极限形式） 设正项级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$ 和 $\sum _{n=1}^{\infty }{v}_n$ 满足 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{u_n}{v_n}=l$，
 （1） 若 $0<l<+\infty$，则两个级数同时收敛或者同时发散；
 （2） 若 $l=0$，则当 $\sum _{n=1}^{\infty }{v}_n$ 收敛时 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$ 也收敛；
 （3） 若 $l=+\infty$，则当 $\sum _{n=1}^{\infty }{v}_n$ 发散时 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$ 也发散。
 比值判别法/达朗贝尔（d’Alembert）判别法 设正项级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$ 满足 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{u_{n+1}}{u_n}=\gamma$，
 （1） 若 $\gamma <1$，则级数收敛；
 （2） 若 $\gamma >1$，则级数发散；
 （3） 若 $\gamma =1$，则本判别法失效。
 根值判别法/柯西（Cauchy）判别法 设正项级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$ 满足 $\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{u_n}=\gamma$，
 （1） 若 $\gamma <1$，则级数收敛；
 （2） 若 $\gamma >1$，则级数发散；
 （3） 若 $\gamma =1$，则本判别法失效。
 积分判别法 设 $f(x)$ 是 $[1,+\infty )$ 上非负递减的连续函数，记 $u_n=f(n)$ $(n\in {\mathbb{N}}^{+})$，则级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$ 的敛散性与反常积分 ${\int }_1^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$ 相同。

一般数项级数收敛性的判别法

 交错级数 $\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}{u}_n=u_1-u_2+u_3-u_4+\cdots +(-1{)}^{n-1}{u}_n+\cdots ,u_n>0$
 莱布尼茨（Leibniz）定理 若交错级数 $\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}{u}_n$ 满足 $u_n>u_{n+1}$ $(n\in {\mathbb{N}}^{+})$ 和 $\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=0$，则该级数收敛且有 $\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=S\le u_1$。
 推论 若交错级数满足莱布尼茨定理，则以 $S_n$ 近似该级数和的误差 $R_n$ 不超过 $u_{n+1}$ 即 $|R_n|=|S-S_n|\le u_{n+1}$。
 绝对收敛和条件收敛 设有一般级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$，
 （1） 若 $\sum _{n=1}^{\infty }|u_n|$ 收敛，则称 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$ 绝对收敛；
 （2） 若 $\sum _{n=1}^{\infty }|u_n|$ 发散而 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$ 收敛，则称 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$ 条件收敛。
 绝对值的比值判别法 设一般级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$ 满足 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{|u_{n+1}|}{|u_n|}=\gamma$，
 （1） 若 $\gamma <1$，则级数绝对收敛；
 （2） 若 $\gamma >1$，则级数发散；
 （3） 若 $\gamma =1$，则本判别法失效。
 绝对值的根值判别法 设一般级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$ 满足 $\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{|u_n|}=\gamma$，
 （1） 若 $\gamma <1$，则级数绝对收敛；
 （2） 若 $\gamma >1$，则级数发散；
 （3） 若 $\gamma =1$，则本判别法失效。

幂级数及其和函数

 柯西-阿达玛（Cauchy-Hadamard）公式 设幂级数 $\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$ 满足 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}=R$，
 （1） 若 $0<R<+\infty$，则级数在 $(-R,R)$ 内绝对收敛，在 $|x|>R$ 时发散；
 （2） 若 $R=0$，则级数仅在 $x=0$ 处收敛，在 $x\ne 0$ 时发散；
 （3） 若 $R=+\infty$，则级数在 $(-\infty ,+\infty )$ 内绝对收敛。
 根值法 设幂级数 $\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$ 满足 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{\sqrt[n]{|a_n|}}=R$，
 （1） 若 $0<R<+\infty$，则级数在 $(-R,R)$ 内绝对收敛，在 $|x|>R$ 时发散；
 （2） 若 $R=0$，则级数仅在 $x=0$ 处收敛，在 $x\ne 0$ 时发散；
 （3） 若 $R=+\infty$，则级数在 $(-\infty ,+\infty )$ 内绝对收敛。
 其中 $R$ 称为幂级数的收敛半径，$(-R,R)$ 称为幂级数的收敛区间，幂级数的收敛域 $D$ 满足 $(-R,R)\subseteq D\subseteq [-R,R]$。
 微分积分不变性 若幂级数 $\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$ 的收敛半径为 $R$，
 （1） 级数在 $(-R,R)$ 上的和函数 $S(x)$ 是连续函数；
 （2） 级数在 $(-R,R)$ 上逐项可微，且微分后收敛半径不变；
 （3） 级数在 $(-R,R)$ 上逐项可积，且积分后收敛半径不变。
 推论（唯一性定理） 幂级数系数与和函数满足 $a_n=\frac{S^{(n)}(0)}{n!}$，其中 $S^{(n)}(x)$ 为 $S(x)$ 的 $n$ 阶导。

函数展成幂级数

 泰勒（Taylor）级数展开 设函数 $f(x)$ 在区间 $|x-x_0|<R$ 内存在任意阶导数，幂级数 $\sum _{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n$ 的收敛区间为 $|x-x_0|<R$，则在 $|x-x_0|<R$ 内 $f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n$ 的充要条件是 $\underset{n\to \infty }{\lim }{R}_n(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1}=0。$
 麦克劳林（Maclaurin）展开 $f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n=f(0)+\frac{f^{\prime }(0)}{1!}x+\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n+\cdots$
 （1） $e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots +\frac{x^n}{n!}+\cdots ,x\in (-\infty ,+\infty )$；
 （2） $\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots +(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+\cdots ,x\in (-\infty ,+\infty )$；
 （3） $\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots +(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+\cdots ,x\in (-\infty ,+\infty )$；
 （4） $\ln (1+x)=\frac{x}{1!}-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}-\frac{x^4}{4!}\cdots +(-1{)}^n\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}+\cdots ,x\in (-1,1]$；
 （5） $(1+x{)}^a=1+ax+\frac{a(a-1)}{2!}{x}^2+\frac{a(a-1)(a-2)}{3!}{x}^3+\cdots +\frac{a(a-1)\cdots (a-n+1)}{n!}{x}^n+\cdots ,x\in (-1,1)$
 （6） $\frac{1}{1-x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x}^n,x\in (-1,1)$
 （7） $\frac{1}{1+x}=\sum _{n=0}^{\infty }(-x{)}^n,x\in (-1,1)$

函数的傅里叶展开

 傅里叶（Fourier）级数 $f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos \frac{n\pi x}{l}+b_n\sin \frac{n\pi x}{l}\right),n\in {\mathbb{N}}^{+}$
  ${\int }_{-l}^{l}f(x)\cos \frac{m\pi x}{l}\mathrm{d}x=\frac{a_0}{2}{\int }_{-l}^l\cos \frac{m\pi x}{l}\mathrm{d}x+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n{\int }_{-l}^l\cos \frac{m\pi x}{l}\cos \frac{n\pi x}{l}\mathrm{d}x+b_n{\int }_{-l}^l\cos \frac{m\pi x}{l}\sin \frac{n\pi x}{l}\mathrm{d}x\right)$
  $m=0⟹{\int }_{-l}^{l}f(x)\mathrm{d}x=\frac{a_0}{2}{\int }_{-l}^l\mathrm{d}x=a_{0}l⟹a_0=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\mathrm{d}x$
  $m\in {\mathbb{N}}^{+}⟹{\int }_{-l}^{l}f(x)\cos \frac{m\pi x}{l}\mathrm{d}x=a_m{\int }_{-l}^l{\cos }^2\frac{m\pi x}{l}\mathrm{d}x=a_{m}l⟹a_m=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\cos \frac{m\pi x}{l}\mathrm{d}x$
  $m\in {\mathbb{N}}^{+}⟹{\int }_{-l}^{l}f(x)\sin \frac{m\pi x}{l}\mathrm{d}x=b_m{\int }_{-l}^l{\sin }^2\frac{m\pi x}{l}\mathrm{d}x=b_{m}l⟹b_m=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\sin \frac{m\pi x}{l}\mathrm{d}x$
  $⟹\{\begin{array}{l}{a}_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\cos \frac{n\pi x}{l}\mathrm{d}x,n\in \mathbb{N}\\ b_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\sin \frac{n\pi x}{l}\mathrm{d}x,n\in {\mathbb{N}}^{+}\end{array}$
 狄利克雷（Dirichlet）定理 如果以 $T=2l$ 为周期的函数 $f(x)$ 在 $[-l,l]$ 上逐段光滑，那么 $f(x)$ 的傅里叶级数在任意点 $x$ 处都收敛于该点左右极限的平均值，即 $\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos \frac{n\pi x}{l}+b_n\sin \frac{n\pi x}{l}\right)=S(x)=\frac{f(x+0)+f(x-0)}{2},x\in (-\infty ,+\infty )$。
 偶函数的傅里叶余弦级数 $\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\cos \frac{n\pi x}{l}=S(x)=\frac{f(x+0)+f(x-0)}{2},x\in (-\infty ,+\infty )$
 奇函数的傅里叶正弦级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n\sin \frac{n\pi x}{l}=S(x)=\frac{f(x+0)+f(x-0)}{2},x\in (-\infty ,+\infty )$
 帕塞瓦尔（Parseval）等式 设 $f(x)$ 可积且平方可积，则 $f(x)$ 的傅氏级数系数 $a_n$ 和 $b_n$ 的平方构成的级数 $\frac{a_0^2}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n^2+b_n^2\right)$ 收敛，并成立等式 $\frac{a_0^2}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n^2+b_n^2\right)=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^l{f}^2(x)\mathrm{d}x$。
  记 $f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\left(a_n^{\prime }\cos \frac{n\pi x}{l}+b_n^{\prime }\sin \frac{n\pi x}{l}\right)$，其中 $a_0^{\prime }=\frac{a_0}{2}$，$b_0^{\prime }=0$，那么 $$f^2(x)=\sum _{n,j=0}^{\infty }\left(a_n^{\prime }{a}_j^{\prime }\cos \frac{n\pi x}{l}\cos \frac{j\pi x}{l}+a_n^{\prime }{b}_j^{\prime }\cos \frac{n\pi x}{l}\sin \frac{j\pi x}{l}+b_n^{\prime }{b}_j^{\prime }\sin \frac{n\pi x}{l}\sin \frac{j\pi x}{l}\right)$$ $${\int }_{-l}^l{f}^2(x)\mathrm{d}x=\sum _{n=0}^{\infty }{\int }_{-l}^l\left(a_n^{\prime 2}{\cos }^2\frac{n\pi x}{l}+b_n^{\prime 2}{\sin }^2\frac{n\pi x}{l}\right)\mathrm{d}x=a_0^{\prime 2}\cdot 2l+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n^{\prime 2}+b_n^{\prime 2}\right)l$$   故 $$\frac{1}{l}{\int }_{-l}^l{f}^2(x)\mathrm{d}x=\frac{a_0^2}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n^2+b_n^2\right)$$