哦也！伟大的回文树（回文自动机）！

最新推荐文章于 2022-09-13 10:40:36 发布

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本文介绍了回文树这一数据结构的基本概念与实现方法，并通过具体实例展示了如何使用回文树来解决相关问题。文中详细解释了回文树的初始化、匹配及插入等核心操作。

例题引入

例题引入：洛谷P3649
话说马上就要APIO了，litble去看了看历年的APIO题……发现这道题用回文树非常好做，所以就去学了一下回文树。
所谓回文树，就是每个节点代表一个不同的回文串的一种数据结构。
它也有可以类比于AC自动机的fail指针，表示失配了之后去寻找哪个节点。
此外，每个节点上还要记录
len:该节点代表的回文串长度
cnt:该节点代表的回文串在原串中出现的次数(然而在建立的过程中这个求不完全，还要再跑一遍count函数去求，这就是后话了)
为了辅助匹配，再弄一个s，表示当前插入到回文树里的字符。 $s_0=-1$ （一个不可能出现的字符）

初始化

一开始回文树上有两个节点,0和1。0是辅助处理偶数回文串的，1是辅助处理奇数回文串的。 $fail(0)=1$ ，因为显然一个新加的字符不能去组成一个长度为2偶数回文串，还可以组成一个长度为1的奇数回文串。 $len(1)=-1,len(0)=0$ ，因为每一次添加的新节点的len显然是其父节点+2，所以奇数回文串要事先减1。

void init() {SZ=1,len[1]=-1,s[0]=-1,fail[0]=1;}//SZ:回文树节点个数

匹配

我们加入了一个字符x，需要寻找加入这个字符后可以形成的新回文串，这个回文串应该长这样：
x 某一个原本存在的回文串 x
因此匹配方式如下：

int find(int x) {
    while(s[n-len[x]-1]!=s[n]) x=fail[x];
    return x;
}

插入

记last为上一次插入后对应的节点，也就是以上一个插入的字符结尾的最长回文串代表的节点。
首先顺着last的fail指针找一个匹配了了的节点。
然后xjb操作一通，方法如下（应该能看懂……吧?）

void add(int t) {
    s[++n]=t;int cur=find(last);
    if(!ne[cur][t]) {//ne:儿子
        fail[++SZ]=ne[find(fail[cur])][t];
        ne[cur][t]=SZ,len[SZ]=len[cur]+2;//注意这句在后，以免影响find的过程
    }
    last=ne[cur][t],++cnt[last];
}

统计答案

也就是传说中的count函数啦！我们可以把cnt完善一下：

LL count() {//typedf long long LL;
    LL re=0;
    for(RI i=SZ;i>=0;--i) {
        cnt[fail[i]]+=cnt[i];
        if(1LL*cnt[i]*len[i]>re) re=1LL*cnt[i]*len[i];
    }
    return re;
}

完整代码

最后获得该题的完整代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=300005;
#define RI register int
typedef long long LL;
struct orzabs{
    int last,n,SZ;
    int ne[N][26],fail[N],cnt[N],len[N],s[N];
    void init() {SZ=1,len[1]=-1,s[0]=-1,fail[0]=1;}
    int find(int x) {
        while(s[n-len[x]-1]!=s[n]) x=fail[x];
        return x;
    }
    void add(int t) {
        s[++n]=t;int cur=find(last);
        if(!ne[cur][t]) {
            fail[++SZ]=ne[find(fail[cur])][t];
            ne[cur][t]=SZ,len[SZ]=len[cur]+2;
        }
        last=ne[cur][t],++cnt[last];
    }
    LL count() {
        LL re=0;
        for(RI i=SZ;i>=0;--i) {
            cnt[fail[i]]+=cnt[i];
            if(1LL*cnt[i]*len[i]>re) re=1LL*cnt[i]*len[i];
        }
        return re;
    }
}T;
char s[N];int slen;
int main()
{
    scanf("%s",s),slen=strlen(s);
    T.init();
    for(RI i=0;i<slen;++i) T.add(s[i]-'a');
    printf("%lld\n",T.count());
    return 0;
}