高精度算法 学习笔记

高精度算法

高进度算法一共分为$6$个主题，分别是高精度加法、高精度减法、高精度乘法、高精度除法、高精度开根和压位。

一、高精度加法

现在有一道题目，如下

给你两个整数a和b，请你算出它们的和。
数据范围：1<=a,b<=10^1000。

一看这道题，就感觉是基础的$a+b$问题，其实不然——数据范围肯定会爆。
那么我们怎么做呢？
我们回顾一下小学时候学的竖式加法。
假设$a=145,b=44$，竖式如下图

其实我们只用从最低位开始加，然后加到最高位就行了。
假设两个加数分别存入$a$和$b$数组，答案存入$c$数组，$y$表示进位，则
$c_i=(a_i+b_i+y)mod10$
$y=\lfloor \frac{a_i+b_i+y}{10}\rfloor$
那么就可以直接用一个循环做了。
时间复杂度为$O(max(n,m))$。
$n$和$m$分别表示两个数的位数。

二、高精度减法

那么高精度减法是不是也可以用竖式的办法解决呢，答案是对。
假设被减数$a=100$，减数$b=78$，竖式如下图

计算过程见右边。
其实我们只要判断一下当前这个位置是否够减，如果够，就减；否则，就加上$10$再减，并把前一位减去$1$。
程序如下：

for(int i=1;i<=n;i++)
{
	if(a[i]<b[i])
	{
		a[i]+=10;
		a[i+1]--;
	}
	c[i]=a[i]-b[i];
}

注意：最后要删除前导$0$。
那如果$a<b$，怎么办？
因为$a-b=-(b-a)$，而$b>a$，所以我们只用计算$b-a$就行了，输出时在前面加个负号。
时间复杂度为$O(max(n,m))$。
$n$和$m$分别表示两个数的位数。

三、高精度乘法

上面我们解决了加法和减法，那么乘法是怎么样的呢?
乘法需要细心找规律才能找到。
假设乘数分别是$12$和$13$，竖式如下图

我们看一下上图，可以发现一个规律：第$i$位和第$j$位相乘的结果应该存在第$i+j-1$位上。
举例一下：
第$1$位$2$乘以第$2$位$1$，结果应该放在第$2$位，因为$1+2-1=2$。
如果不明白可以看下图：

根据这个规律，我们就可以直接计算出答案，这里就不多说了。
注意：答案要累加进一个数组，因为可能会有$i+j-1$重复的情况。
时间复杂度为$O(nm)$。
$n$和$m$分别表示两个乘数的位数。

四、高精度除法

高精度除法有两种方法，第一种是二分答案，第二种是利用减法来求。

第一种方法

由于乘法是除法的逆运算，所以我们直接寻找一个数看这个数是否满足乘法运算就行了。
找数的方法很简单，就是二分答案。
如果没学过二分答案，可以自己去网上学一学，以后我会出关于二分答案的内容。
二分答案时，我们只要做乘法就行了。
时间复杂度大概为$O(nm{\log }_a^2)$。
$n$表示被除数的位数，$m$表示除数的位数，$a$表示被除数。
其实复杂度远没有这么多。

第二种方法

我们只用一次一次的用被除数减去除数，直到被减数等于$0$为止，答案就是次数。
这种时间复杂度很高，应该是$O(\frac{a}{b})$
$a$表示被除数，$b$表示除数。

五、高精度开根

高精度怎么开根呢，方法和高精度除法一样，都可以用二分答案来解决。
我们二分答案时，就只用算一下乘法，然后调整位置。
时间复杂度为$O(n^m{\log }_a^2)$。
$n$表示被开方数的位数，$m$表示根指数，$a$表示被开方数。

六、压位

那么有什么方法可以使高精度算法的速度更快呢？
答案是，压位。
假如我们现在要算两个数的加法。
我们可以一次就算$5$位，这样只用开$int$。
我们可以一次就算$12$位，这样只用开$longlong$。
那么时间复杂度就变成了$O(\frac{a}{b})$。
$a$表示原来的时间复杂度，$b$表示压位的位数。
这样就可以大大的缩短时间了。