20、Betti Numbers and Homology Groups in Digital Image Analysis

最新推荐文章于 2025-06-22 23:05:51 发布
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分类专栏： 数字图像的计算几何与拓扑应用 文章标签： Betti numbers Homology groups Digital image analysis
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Betti Numbers and Homology Groups in Digital Image Analysis

1. Introduction to Betti Numbers

In the realm of computational geometry and topology, Betti numbers play a crucial role in understanding the topological structure of shapes within digital images. Betti numbers provide a way to quantify the number of “holes” in various dimensions within a given shape. Specifically:

  • ( b_0 ): The number of connected components.
  • ( b_1 ): The number of one-dimensional loops or tunnels.
  • ( b_2 ): The number of two-dimensional voids or cavities.

These numbers help in distinguishing and classifying shapes based on their topological properties. For instance, a donut and a coffee cup are topologically equivalent because the

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A topological loss function for deep-learning based image segmentation using persistent homology
apple_52478019的博客
06-13 1892
定义拓扑损失函数时，首先需要确定目标拓扑特征（例如预期的Betti数）。然后，计算预测分割结果的持久性条形码与目标拓扑特征之间的差异，具体包括条形码长度的差异。拓扑损失函数可以表示为：其中，(b_{k,l})表示预测分割结果的第(k)个Betti数的第(l)个条形码的长度，(d_{k,l})表示目标拓扑特征的第(k)个Betti数的第(l)个条形码的长度。
11、数据科学中的拓扑与几何：从Betti数到距离度量
j7k8l的博客
09-16 72
本文深入探讨了拓扑与几何在数据科学中的核心应用，涵盖Betti数、欧拉特征数和持久同调等拓扑工具，用于分析数据的孔洞结构与网络鲁棒性；介绍了多种距离度量及其对机器学习性能的影响；并阐述了流形学习与分形几何在高维数据降维和金融市场分析中的实际应用。通过R代码示例和可视化方法，展示了如何利用拓扑特征进行网络比较与结构识别，为复杂数据提供了深层次的结构洞察。
【论文阅读】Persistent Homology Based Generative Adversarial Network
开心星人的博客
10-26 1831
现有的生成模型不能充分捕捉图像的全局结构信息，使得图像生成过程中难以协调全局结构特征和局部细节特征。该文提出了一种基于持续同调的生成对抗网络（PHGAN）。本文基于持久同调方法设计了拓扑特征变换算法，并通过全连通层模块和自注意模块将拓扑特征集成到遗传神经网络的鉴别器中，使PHGAN具有良好的全局结构信息捕获能力，提高了模型的生成性能。在CIFAR10数据集和STL10数据集上对PHGAN进行了实验评估，并与几种经典的生成式对抗网络模型进行了比较。实验结果表明我们的PHGAN模型具有较好的图像生成能力。
1011 World Cup Betti
weixin_44230791的博客
01-26 130
1011 World Cup Betting For example, 3 games’ odds are given as the following: W T L 1.1 2.5 1.7 1.2 3.1 1.6 4.1 1.2 1.1 To obtain the maximum profit, one must buy W for the 3rd game, T for the 2nd game, and T for the 1st game. If each bet ta
[TopoCount] Localization in the Crowd with Topological Constraints
Focus
05-06 791
Localization in the Crowd with Topological Constraints 会议：CVPR 2021 论文：https://arxiv.org/pdf/2012.12482.pdf 代码：https://github.com/TopoXLab/TopoCount 创新点： 作者提出了一种新的拓扑方法来解决定位问题，将问题视为预测一个binary mask 提出了persistence loss Abstract 密集人群的数据集往往是点标注，然而，一个点没有尺度信息，
YOLOv11拓扑感知骨干设计：基于持久同调的特征图连通性与空洞结构量化分析
本博客聚焦 YOLOv11 全流程落地，涵盖架构优化、数据集处理、训练技巧与多场景部署，兼及国产数据库、Java 开发与 AI 模型应用，内容兼顾理论与工程实践，为开发者提供系统干货，助力高效提升技术能力。
06-22 907
本文介绍了持久同调在计算机视觉中的应用，特别是针对深度学习特征图的分析方法。文章首先讲解了代数拓扑中的核心概念，包括单纯复形、滤流构建和Betti数等基础理论。随后详细阐述了如何将特征图转化为拓扑空间，并通过构建Vietoris-Rips复形来计算持久同调，从而量化特征图的连通性和空洞结构。文章提供了Python代码示例，展示了从特征图提取到拓扑特征可视化的完整流程。该方法为理解神经网络学到的表示提供了新的拓扑视角，可用于分析特征图中的激活模式和结构特征。
微分几何01:A Taste of Manifolds in Euclidean Space
qq_72551477的博客
03-16 834
系列笔记是本人在上微分几何课程过程中整理的，参考书籍为经典的An Introduction to the Manifolds. 由于上课老师是外教加上参考书籍，笔记使用英文记录。此外还有课堂上的笔记，是经典微分几何，包括曲线和曲面两部分。这里是An Introduction to the Manifolds的笔记01：A Taste of Manifolds in Euclidean Space。
流形拓扑学理论与概念的实质：Euler示性数及EulerPoincare公式
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流形拓扑学理论与概念的实质：同伦论 作者：禅与计算机程序设计艺术 / Zen and the Art of Computer Programming 1. 背景介绍 1.1 问题的由来 流形拓扑学作为数学的一个分支，探索了空间的
Betti numbers of locally standard 2-torus manifolds
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五次多项式换道转向避撞轨迹规划可视化Matlab代码（分析不同车速与路面附着系数对换道时间、距离及横向加速度的影响）分析车速与路面
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五次多项式换道转向避撞轨迹规划可视化Matlab代码（分析不同车速与路面附着系数对换道时间、距离及横向加速度的影响）内容概要：本文档主要介绍了一个基于五次多项式进行换道转向避撞轨迹规划的Matlab仿真代码，重点分析了不同车速与路面附着系数对车辆换道时间、换道距离以及横向加速度的影响。通过可视化手段展示轨迹规划结果，帮助研究人员深入理解自动驾驶中路径规划的安全性与舒适性指标。该资源属于一系列科研仿真工具的一部分，涵盖路径规划、智能优化、电力系统、信号处理等多个领域，突出Matlab/Simulink在工程仿真中的应用价值。; 适合人群：具备一定Matlab编程基础，从事自动驾驶、智能交通系统、车辆工程或路径规划相关研究的研究生、科研人员及工程技术人员。; 使用场景及目标：①研究自动驾驶中安全换道轨迹的生成方法；②分析车辆动力学参数与道路条件对换道性能的影响；③为高级驾驶辅助系统（ADAS）和无人驾驶决策控制系统提供算法支持与仿真验证。; 阅读建议：建议结合Matlab代码与文档内容同步运行仿真，调整车速与路面附着系数等参数，观察换道轨迹与加速度变化趋势，深入理解五次多项式在连续平滑轨迹生成中的优势，并可进一步拓展至动态障碍物避撞或多车协同换道场景。
智能天线原理与MATLAB实践
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本书系统讲解智能天线的基本原理与前沿技术，涵盖电磁场基础、天线阵列、随机过程、信道模型、到达角估计、自适应波束成形等内容。结合MATLAB仿真，帮助读者深入理解智能天线在无线通信、雷达等领域的应用。适合电子信息类研究生及工程师阅读，配套代码便于动手实践，助力掌握现代阵列信号处理核心技术。
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红水河.zip
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Divide and Conquer
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分治法简单来说就是分而治之，化繁为简，将大问题分解成子问题逐一求解。 在利用分治法寻找 n 个数中第 k 小的元素时，首先在当前数组中随意选中一个基准元素 pivot，然后使用双指针“区域划分”的思想将数组划分为两部分，左半区域的元素比 pivot 小，右半区域的元素比 pivot 大。假设 pivot 基准元素的下标是 pivotIndex，pivot 元素就是整个数组中第 pivotIndex + 1 小的元素。令左半区域的元素个数为 leftNum，若 k == leftNum + 1 则直接返回基准元素；若 k < leftNum + 1 则递归左半部分区域继续找到第 k 小的元素；若 k > leftNum + 1 ，则递归右半部分区域找第 k - (leftNum + 1) 小的元素 [^1]。 在排列组合问题中，设集合 R = {r1, r2, ..., rn} 是要进行排列的 n 个元素，其中 r1, r2, ..., rn 可能相同，也可使用分治法来列出 R 的所有不同排列，即给定 n 以及待排的 n 个可能重复的元素，计算输出 n 个元素的所有不同排列 [^2]。 以下是一个使用分治法寻找第 k 小元素的 Python 代码示例： ```python def find_kth_smallest(arr, k): if len(arr) == 1: return arr[0] pivot = arr[len(arr) // 2] left = [x for x in arr if x < pivot] middle = [x for x in arr if x == pivot] right = [x for x in arr if x > pivot] leftNum = len(left) if k == leftNum + 1: return pivot elif k < leftNum + 1: return find_kth_smallest(left, k) else: return find_kth_smallest(right, k - (leftNum + len(middle))) arr = [3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3, 5] k = 3 result = find_kth_smallest(arr, k) print(f"第 {k} 小的元素是: {result}") ```
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